Differensial tenglamalar va ularning tadbiqlari

Differensial tenglamalar va ularning tadbiqlari.
Hisoblash matematikasi va differensial tenglamalar ham chetda qolmadi! Bugun darsda biz asoslar bilan tanishamiz taxminiy hisob-kitoblar Matematik tahlilning ushbu bo'limida, shundan so'ng mavzu bo'yicha qalin, qalin kitoblar sizni ochiq kutib oladi. Hisoblash matematikasi uchun hali diffuziya tomonini chetlab o'tmagan =)
Sarlavhada keltirilgan usullar mo'ljallangan taxminiy yechimlarni topish differensial tenglamalar, boshqaruv tizimlari va eng keng tarqalgan muammoning qisqacha bayoni quyidagicha:
O'ylab ko'ring birinchi tartibli differentsial tenglama buning uchun siz topmoqchisiz shaxsiy yechim dastlabki holatga mos keladi. Bu nima degani? Bu biz topishimiz kerakligini anglatadi funktsiyasi (mavjud deb taxmin qilinadi) bu berilgan farqni qondiradi. tenglama va grafigi nuqtadan o'tadi.
Ammo bu erda omadsizlik bor - tenglamadagi o'zgaruvchilarni bo'lish mumkin emas. Ilm-fanga ma'lum emas. Va agar iloji bo'lsa, bu chiqadi chidab bo'lmas integral. Biroq, alohida yechim bor! Va bu erda taxminiy hisob-kitoblar usullari yordamga keladi, bu esa yuqori ko'rsatkichlarga imkon beradi (va ko'pincha eng yuqori) aniqlik funktsiyani ma'lum bir intervalda "taqlid qilish".
Eyler va Runge-Kutta usullarining g'oyasi syujet parchasini almashtirishdir singan chiziq, va endi biz ushbu g'oya amalda qanday amalga oshirilayotganini bilib olamiz. Va biz nafaqat bilib olamiz, balki uni bevosita amalga oshiramiz =) Keling, tarixiy jihatdan birinchi va eng oddiy usuldan boshlaylik. ... Siz murakkab differentsial tenglama bilan shug'ullanmoqchimisiz? Shuning uchun men ham xohlamayman :)
Mashq qilish
Qadamli segmentda Eyler usulidan foydalanib, boshlang'ich shartga mos keladigan differensial tenglamaning muayyan yechimini toping. Taxminiy yechimning jadvali va grafigini tuzing.
Tushunish. Birinchidan, oldimizda odatiy narsa bor chiziqli tenglama, uni standart usullar bilan hal qilish mumkin va shuning uchun darhol aniq echim topish vasvasasiga qarshi turish juda qiyin:
- xohlovchilar bu funksiya boshlang'ich shartni qanoatlantirishi va tenglamaning ildizi ekanligini tekshirishi va ishonch hosil qilishi mumkin.
Nima qilish kerak? Topish va qurish kerak singan chiziq, bu funksiyaning grafigiga yaqinlashadi  orasida. Ushbu intervalning uzunligi birga teng bo'lgani uchun va qadam bo'lsa, bizning singan chiziq 10 ta segmentdan iborat bo'ladi:
bundan tashqari, nuqta  allaqachon ma'lum - u dastlabki shartga javob beradi. Bundan tashqari, boshqa nuqtalarning "x" koordinatalari aniq:
Topish qoladi  ... Yo'q farqlash va integratsiyalash- faqat qo'shish va ko'paytirish! Har bir keyingi "o'yin" qiymati avvalgisidan oddiy tomonidan olinadi takrorlanuvchi formula:

Differensial tenglamani quyidagi shaklda ifodalaymiz:
Shunday qilib: 
Biz boshlang'ich holatdan "bo'shatamiz":

Boshlandi:


Hisoblash natijalarini jadvalga kiritish qulay:

Va hisob-kitoblarning o'zi Excelda avtomatlashtirilgan bo'lishi kerak - chunki matematikada nafaqat g'olib, balki tezkor yakun ham muhim :)
2 va 3-ustunlarning natijalariga ko'ra, biz chizmadagi qo'shni nuqtalarni bog'laydigan 11 nuqta va 10 segmentni tasvirlaymiz. Taqqoslash uchun men aniq shaxsiy yechimni chizaman  :


Oddiy Eyler usulining muhim kamchiliklari shundaki, xato juda katta, shu bilan birga xato to'planish tendentsiyasini ko'rish oson - biz nuqtadan qanchalik uzoqqa borsak, shunchalik ko'p. asosan yondashuv va haqiqat o'rtasidagi tafovut kattaroq bo'ladi. Buni Eyler o'z uslubining asosi sifatida ishlatgan printsipi bilan izohlash mumkin: chiziq segmentlari parallel muvofiq tangens nuqtadagi funksiya grafigiga. Aytgancha, bu haqiqat chizmadan ham aniq ko'rinadi.
Taxminiylikni qanday yaxshilash mumkin? Birinchi fikr bo'linishni maydalashdir. Keling, segmentni, masalan, 20 qismga ajratamiz. Keyin qadam quyidagicha bo'ladi:  , va 20 ta havoladan iborat singan chiziq ma'lum bir yechimni ancha yaqinlashtirishi aniq. Xuddi shu Excel yordamida 100-1000 va hatto million (!) Oraliq segmentlarni qayta ishlash qiyin bo'lmaydi, lekin o'zimizga savol beraylik: usulni SIFATLI yaxshilash mumkinmi?
Lekin bu savolni ochishdan oldin bugun qayta-qayta tilga olinayotgan familiyaga to'xtalib o'tmasdan ilojim yo'q. O'qish Leonard Eylerning tarjimai holi, inson o'z hayotida qanchalik aql bovar qilmaydigan darajada ko'p ish qila olishiga hayron qolasiz! Faqat K.F. Gauss. ... Shuning uchun biz o'rganish va yangi kashfiyotlar uchun motivatsiyani yo'qotmaslikka harakat qilamiz :))