Differensial tenglamalar

umumiy koʻrinishi

�⁽�⁾ ∙ �^′(�⁾ + �⁽�⁾ ∙ �⁽�⁾ = �(�)

standart koʻrinishi esa

�^′(�⁾ + �⁽�⁾ ∙ �⁽�⁾ = �(�)

boʻladi.

Standart koʻrinishda berilgan chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamani ikki xil usulda yechishni koʻrib chiqamiz:

1. Oʻzgarmasni variatsiyalash usuli.

2) Bernulli usuli.

Oʻzgarmasni variatsiyalash usuli algoritmi quyidagicha:

1. 
   �^′ + �⁽�⁾ ∙ � = 0 – oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama yechiladi ⟹ �⁽�⁾ = �(�, �) – umumiy yechim topiladi.
   
2. 
   𝒄 ni oʻrniga biror bir u(x) – x ning funksiyasini qoʻyamiz ⟹ � =
   

�(�) ⟹

�⁽�⁾ = �(�(�), �), usulning nomi ham shundan kelib chiqqan –

oʻzgarmasni variatsiyalash (oʻzgartirish)

3. �⁽�⁾ = �(�(�), �) ni �^′ + �⁽�⁾ ∙ � = �(�) differensial tenglamaga

qoʻyamiz.

Eslatma: Ushbu fokusdan keyin tenglama oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga kelishi lozim!

4. 
   Hosil boʻlgan oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani yechib, u(x) ni topamiz.
   
5. 
   u(x) ni ifodasini �⁽�⁾ = �(�(�), �) ga qoʻyib umumiy yechimni
   

topamiz.

Misol 1. �^′ + 2�� = � ∙ �^−�2

1. �^′ + 2�� = 0 ⟹ ^�� = −2��� ⟹ 𝑙𝑛^|�^| = −�² + � ⟹ � =

�

𝐶 ∙ �^−�2

2. � = 𝐶 ∙ �^−�2 ⟹ 𝐶 = �⁽�⁾ ⟹ � = �(�) ∙ �^−�2

3. (� ∙ �^−�2 )′ + 2� ∙ � ∙ �^−�2 = � ∙ �^−�2 ⟹

�^′ ∙ �^−�2 + � ∙ (−2�) ∙ �^−�2 + 2� ∙ � ∙ �^−�2 = � ∙ �^−�2 ⟹

�^′ = �

4. �^′ = � ⟹ � = ¹ �² + 𝐶

2

5. � = �⁽�⁾ ∙ �^−�2 ⟹ � = (¹ �² + 𝐶) ∙ �^−�2

2

Misol 3. �^′ + ^� − 2�^�2 = 0, �⁽1⁾ = �

�

Misol 4. �^′ − ^2�

�+1

= ⁽� + 1⁾³, �⁽0⁾ = ¹

2

Misol 5. �^′ + � ∙ ��� = ¹

��𝑠�

Bernulli usuli algoritmi quyidagicha:

1. 
   � = � ∙ � ⟹ bunda �, � − hozircha nomaʼlum funksiyalar,
   

almashtirish bajaramiz.

2. 
   � = � ∙ � almashtirishni differensial tenglamaga qoʻyamiz ⟹ (� ∙ �)^′ + �⁽�⁾ ∙ � ∙ � = �⁽�⁾ ⟹ �^′� + � ∙ �^′ + �⁽�⁾ ∙ � ∙ �
   

= �(�)

3. 
   Ikkinchi va uchinchi qoʻshiluvchilardan qavsdan tashqariga
   

chiqarsa boʻladigan hamma narsa chiqariladi:

�^′� + �(�^′ + �⁽�⁾�) = �(�)

4. 
   Tenglamalar sistemasiga kelamiz:
   

′

� + �⁽�⁾� = 0

^{ �^′� = �(�)

5. 
   Birinchi tenglamadan v ni topamiz, faqat bu bosqichda C
   

qatnashmaydi.

6. 
   v ni ifodasini 2-tenglamaga qoʻyib u ni topamiz, C qatnashadi.
   
7. 
   � = � ∙ � – ga u va v – lar ifodalarini qoʻyamiz.
   

Misol 2. �^′ = 2�(�² + �)

1. � = � ∙ �

2. �^′� + � ∙ �^′ − 2� ∙ � ∙ � = 2�³ ⟹ �^′� + � ∙ (�^′ − 2� ∙ �) =

2�³

_{3. {}�^′ − 2�� = 0

�^′� = 2�³

4. �^′ − 2�� = 0 ⟹ ^�𝑣 = 2��� ⟹ 𝑙𝑛^|�^| = �² ⟹ � = �^�2 ,

𝑣

bu bosqichda � − qatnashmaydi.

5. �^′� = 2�³ ⟹ �^′ ∙ �^�2 = 2�³ ⟹ �^′ = 2�³ ∙ �^−�2 ⟹

� = ∫ 2�³ ∙ �^−�2 �� = −�² ∙ �^−�2 − �^−�2 + �

6. � = � ∙ � ⟹ � = (−�² ∙ �^−�2 − �^−�2 + �) ∙ �^�2 = −�² − 1 +

� ∙ �^�2 -umumiy yechim boʻladi.

Diffеrеnsiаl tеnglаmаning yеchimigа оdаtdа diffеrеnsiаl tеnglаmаning intеgrаl chizig`i hаm dеyilаdi.

Endi birinchi tаrtibli diffеrеnsiаl tеnglаmаning gеоmеtrik intеrprеtаsiyasini ko`rаylik. BERNULLI DIFFERENSIAL TENGLAMASI.

Bernulli differensial tenglamasi deb,

�^′ + �⁽�⁾ ∙ � = �(�) ∙ �^𝑎

koʻrinishdagi differensial tenglamaga aytiladi.

Koʻrinib turibtiki Bernulli differensial tenglamasi tuzilishi boʻyicha chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamani eslatayapti. Differensial tenglama Bernulli differensial tenglamasi ekanligini aniqlash uchun oʻng tomonda y ning a-darajasi qatnashganligidir.

� = 0 boʻlganda �^′ + �⁽�⁾ ∙ � = �(�)

� = 1 boʻlganda �^′ + (�⁽�⁾ − �⁽�⁾) ∙ � = 0

koʻrinishdagi differensial tenglamalarga keladi, ularni qanday qilib

yechishni esa koʻrib chiqdik.

y ning darajasidagi a –musbat ham (a>0), manfiy ham (a<0), kasr son

ham (� = ¹

2

1

⟹ �² = _√� ) boʻlishi mumkin.

Bernulli tenglamasi turli xil koʻrinishlarda berilishi mumkin:

�(�) ∙ �^′ + �⁽�⁾ ∙ � = �(�) ∙ �^𝑎

�(�) ∙ �^′ + � = �(�) ∙ �^𝑎

�^′ + � = �(�) ∙ �^𝑎

�^′ + �⁽�⁾ ∙ � = �^𝑎

Muhimi y ning birdan farqli darajasi qatnashsa boʻlgani. a>0 boʻlganda

y=0 yechim Bernulli tenglamasining xususiy yechimi boʻladi.

Shunday qilib Bernulli tenglamasini yechish algoritmi quyidagicha:

1. 
   Oʻng tomondagi �^𝑎 dan qutulish lozim. Buning uchun tenglamani ikkala tomonini �^𝑎 ga boʻlamiz.
   

_�′

_�𝑎 + �⁽�⁾ ∙ �

1−𝑎

= �(�)

2. 
   �^1−𝑎 dan qutulish lozim, buning uchun �^1−𝑎 = � deb belgilash
   

kiritamiz.

′
3. �^′ = ⁽1 − �^{) �}

𝑎

�
⟹ �^′ =

�^′ ⟹ ¹

�^′ + �⁽�⁾ ∙ � = �(�)

_�𝑎

1−𝑎

1−𝑎

koʻrinishdagi chiziqli bir jinsli boʻlmagan 1-tartibli differensial

tenglamaga kelamiz. Uni yechish algoritmini esa bilamiz.

Misol 3. √1 − �² ∙ �^′ + � = ����𝑖𝑛� ∙ �², �⁽0⁾ = −1

1. 
   Oʻng tomonda y dan qutulish kerak.
   

2. 
   Konturga olingan qoʻshiluvchida y dan qutulish kerak, buning uchun
   

¹ = � almashtirish bajaramiz.


′
�

3. �^′ = − ^�

⟹ �^′ = −�² ∙ �^′ ⟹ −√1 − �² ∙ �^′ + � =

_�2

����𝑖𝑛� ⟹

_{�′ −} 1

√1 − �²

����𝑖 𝑛�

� = −

√1 − �²

Natijada Bernulli differensial tenglamasidan chiziqli bir jinsli boʻlmagan

birinchi tartibli differensial tenglamaga kelamiz. Bunday tenglamalarni yechish usullarini esa bilamiz.

KLERO DIFFERENSIAL TENGLAMASI

Taʼrif. x va y ga nisbatan chiziqli boʻlgan koeffitsiyentlari esa �^′ ning funksiyalari boʻlgan differensial tenglamaga

𝐹⁽�^′) ∙ � + �⁽�^′) ∙ � + �⁽�^′) = 0

LAGRANJ DIFFERENSIAL TENGLAMASI deyiladi.

Ushbu tenglamani yechish algoritmi quyidagicha:

1. 
   Umumiy yechimni topish uchun � = �^′ oʻzgaruvchi almashtiriladi. Differensial tenglama quyidagicha koʻrinishga keltiriladi:
   

� = � ∙ �⁽�⁾ + 𝜑(�)

′
bunda �⁽�⁾ = − ^{𝐹(� )}

�⁽�^′)

, 𝜑⁽�⁾ = − ^{�(� )}

′
�(�^′)

2. 
   Ushbu tenglamani �^′ = � ⟹ �� = ��� ekanligini eʼtiborga olib
   

differensiallaymiz.

�� = �(� ∙ �⁽�⁾ + 𝜑⁽�⁾) ⟹ ���

= �⁽�⁾�� + � ∙ �^′(�⁾�� + 𝜑^′(�⁾��

3) x ga nisbatan chiziqli boʻlgan ushbu differensial tenglamaning

yechimi x=F(p,c) boʻlsa, u holda Lagranj differensial tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha boʻladi:

� = 𝐹⁽�, �⁾

{

� = � ∙ �⁽�⁾ + 𝜑⁽�⁾ = 𝐹⁽�, �⁾ ∙ �⁽�⁾ + 𝜑(�)

Taʼrif. x va y ga nisbatan chiziqli boʻlgan koeffitsiyentlari esa �^′ ning

funksiyalari boʻlgan quyidagicha differensial tenglamaga

� = � ∙ �^′ + 𝜑⁽�^′)

KLERO DIFFERENSIAL TENGLAMASI deyiladi.

Klero differensial tenglamasi Lagranj differensial tenglamasining xususiy holi hisoblanadi. Ushbu differensial tenglamani yechish algoritmi quyidagicha:

1) �^′ = � ⟹ � = � ∙ � + 𝜑(�)

2) �^′ = � ⟹ �� = ��� ⟹ �� = �(� ∙ � + 𝜑⁽�⁾) ⟹

�^′�� = ��� + ��� + 𝜑^′(�⁾�� ⟹ ���

= ��� + ��� + 𝜑^′(�⁾��

Oxirgi ifodani dx ga boʻlamiz

��

� = � + �

��

′

+ 𝜑^′(�⁾ ��

��

⟹ (� + 𝜑^′(�⁾) �� = 0

��

_{3) {}� + 𝜑

⁽�⁾ = 0

�� = 0 ^⟹

Birinchi yechim: �� = 0 ⟹ � = 𝐶 ⟹ � = 𝐶 ∙ � + 𝜑(𝐶)

� = � ∙ � + 𝜑(�)

Ikkinchi yechim esa: {

_{� + 𝜑′(�) = 0} parametrik tenglamalar

sistemasini yechish orqali hosil qilinadi. Hosil boʻlgan F(x,y)=0 ikkinchi

yechim ixtiyoriy oʻzgarmas sonni oʻz ichiga olmaydi va umumiy yechimdan ham C ning biror bir qiymati orqali hosil qilinmaydi, demak xususiy yechim emas. Bunday yechimlar maxsus yechim (integral) hisoblanadi. Shunday qilib Klero tenglamasining maxsus yechimi umumiy yechim (integral) bilan berilgan toʻgʻri chiziqlar oilasining egilish chizigini aniqlaydi, boshqacha qilib aytganda maxsus yechimning ixtiyoriy nuqtasiga oʻtqazilgan urinma ham differensial tenglama yechimi boʻladi. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/EnvelopeAnim.g if

Klero differensial tenglamasi koʻp hollarda analitik geometriyada 2- tartibli egri chiziqlarni qurish uchun ishlatiladi. Egri chiziqni uning urinmasiga qoʻyilgan xossalari boʻyicha aniqlaydigan geometrik masalalar Klero tenglamasiga olib keladi. Ushbu xossa aynan urinmaga tegishli boʻlib, urinadigan nuqtaga tegishli emas. Haqiqatdan ham urinma tenglamasi:

� − � = �^′(� − �⁾ yoki � = �^′� + (� − ��^′)

Urinmaning har qanday xossasi (� − ��^′) va �^′ oʻrtasidagi munosabat

bilan aniqlanadi:

Ф⁽� − ��^′, �^{′ )}=0

Ushbu tenglamani � − ��^′ ga nisbatan yechilsa, aynan

� = � ∙ �^′ + 𝜑⁽�^′) Klero tenglamasiga kelamiz.

Misol. � = � ∙ �^′ + ⁽�^′)2

1) �^′ = � ⟹ � = � ∙ � + �²

2) �^′ = � ⟹ �� = ��� ⟹ �� = �⁽� ∙ � + �²⁾

�^′�� = ��� + ��� + 2��� ⟹ ��� = ��� + ��� + 2���

Oxirgi ifodani dx ga boʻlamiz

� = � + � ^�� + 2� ^��

⟹ ⁽� + 2�^{) ��} = 0 – ushbu tenglama mumkin

�� �� ��

boʻlgan ikki xil yechimga ega.

_{3) {}� + 2� = 0


⟹
�� = 0

1-yechim: �� = 0 ⟹ � = 𝐶 ⟹ � = 𝐶 ∙ � + 𝜑(𝐶) Klero

tenglamasining umumiy integrali

(yechimi) toʻgʻri chiziqlar oilasini tashkil qiladi.

2-yechim: yechim parametrik koʻrinishda tenglamalar sistemasidan topiladi:


2
_{� = � ∙ � + �

_{� + 2� = 0} ⇒ ushbu sistemadan � ni yoʻqotib ikkinchi

yechimni topamiz

�

� = −

2

⇒ � = � ∙ (−

� � ² �²

) + (− ) = −

2 2 4

_�2

⇒ � = −

4

Ikkinchi yechim ixtiyoriy oʻzgarmas sonni oʻz ichiga olmaydi va umumiy

yechimdan ham C ning biror bir qiymati orqali hosil qilinmaydi, demak xususiy yechim emas. Bunday yechimlar maxsus yechim (integral) hisoblanadi.

O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi.

Bunday sistemaning sodda ko’rinishi

dy_i
n

_a_ij y _j 
f_i (x)
(1)
(i 

1, n)

^dx j 1

dan iborat, bunda

^aij

o’zgarmas sonlar.

^f_i ^(x)esa ko’rilayotgan oraliqda

aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.

Ma’lumki, bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topish uchun, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishga to’g’ri keladi.

Shuning uchun xam biz dastavval o’zgarmas koeffisiyentli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini kvadraturasiz topish usulini qaraymiz.

Bir jinsli, o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.

dy_i

n

_a_ij y _j
(2)

^dx j 1
Ma’lumki (2) sistemani, unga ekvivalent bo’lgan bitta 𝑛-tartibli differensial

tenglamaga keltirish mumkin.


x
Shuning uchun (2) sistemasining xususiy yechimlarini

1
y₁ 

_ex _,

y₂ 

e^x ,......,

y_n _n

(3)

2

e
ko’rinishda izlaymiz.

Bunda ^_i va lar o’zgarmas sonlardir.

Ularni shunday tanlab olamizki (3), (2) sistemani qanoatlantirsin. Buning uchun (2) ga (3) olib borib qo’yamiz.

x
_i e

n

_a_ij _j ex ^yoki _i

j 1

n

_a_ij _j j 1

buni ochib yozsak

_(a₁₁ )₁ a₁₂₂



a₁₃₃

..... a_1n_n 0

_a₂₁₁ (a₂₂ )₂



a₂₃₃ ..... a_2n_n 0

(4).

^an1^1 ^an2^2

a_n3₃ ..... (a_nn

)_n 0

Bu ^₁ ^,₂ ^,....,_n ^, larga nisbatan bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasidir.Bu sistema trivial bo’lmagan yechimga ega bulishligi uchun, uning asos determinanti nolga teng bo’lishi zarur.

() 

a₁₁  ^a21 ^an1

^a12 a₂₂ 

^an2

a₁₃ .....a_1n

a₂₃ .....a_2n 0

a_n3 .......a_nn 
(5).

(5) ga (2) sistemaga mos bo’lgan xarakteristik tenglama deyiladi. Uning ildizlariga xarakteristik son deyiladi.

(5) ga nisbatan n- darajali algebraik tenglamadir

(3), (2) sistemaning xususiy yechimi bo’lishligi uchun (5) xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lishi kerak.

(4) ning koeffisiyentlaridan ushbu matrisani tuzamiz

() 

a₁₁  ^a21 ^an1

^a12 a₂₂ 

^an2

a₁₃ .....a_1n

a₂₃ .....a_2n

a_n3 .......a_nn 
(6).

1. 
   Faraz etaylik xarakteristik tenglamaning ^₁ ^,₂ ^,...,_n
   

bir-biriga teng bo’lmasin.

ildizlari haqiqiy va

Agar

_j

ildizni (5) ga olib borib qo’ysak

(_j ) 0

(7) bo’ladi.

Isbot etamizkim

_j ^{qiymatda (5) determinantning xech bo’lmaganda}

𝑛 − 1 tartibli minorlaridan biri nolga teng bo’lmaydi.

Haqiqatan xam
uchun

_j

xarakteristik tenglamaning oddiy ildizi bo’lgani

_j

^(_j

) 0

(8)

nolga teng bo’lmaydi. Ikkinchi tomondan

1

^() 0

a₁₂ ...

a₂₂ .....

^a1n ^a2n

a₁₁ 

 a₂₁

0

1...

^a1n

a_2n 

0

a₁₁ 

a_n2 ...

^a12

a_nn 

0

n

^an1

0...

a_nn 

(9)

 a₂₁

^an1

a₂₂ ...

a_n2 ...

0 __kk ()

1
r 1

Bunda

_kk (),

()

determinantdagi

a_kk 

elementining algebraik

^{tuldiruvchisi bo’ladi.Agar} _j

kiymatini (9) keltirib qo’ysak (8) ga

asosan

_kk (_j )

larning xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi, ya’ni

(9) dagi n-1 tartibli determinantlardan xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi.

Bundan, (6) matrisaning rangi n-1 ga tengligi kelib chiqadi. Ya’ni (4) sistemadagi tenglamalardan biri qolganlarini natijasi ekanligi kelib chiqadi.

^{U xolda (4) sistema trivial bo’lmagan}_j1 ,_{j 2} ,...,_jn

yechimlarga ega .

Lekin matrisaning rangi n-1 ga teng bo’lgani uchun, bu ildizlar bir-biridan o’zgarmas songa fark kiladi.

_j1 c _j A_j1 ,

^j 2

c _j A_{j 2} ,...._jn

c _j A_jn ,

Bunda

A_ji ^{lar o’zgarmas sonlardir.}

^Agar c _j

1 ^{teng deb, bu qiymatlarni (3) ga qo’ysak, xarakteristik}

tenglamaning
yechimlari.

_j

ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning xususiy

y _j1 A_j1e

jx _,

^y j 2

A_{j 2} e

jx

,......y _jn

A_jn e

jx _,

(10)

ga ega bo’lamiz.

Ma’lumki (2) sistemaning xususiy yechimlarini biror o’zgarmas songa ko’paytirsak, xosil bo’lgan ifoda yana berilgan sistemaning yechimi bo’ladi.

Shunga kura, xarakteristik tenglamaning ^₁ ^,₂ ^,...,_n

ildizlari uchun

yukoridagi muloxazalarni ishlatsak, sistemaning n- ta (10) ko’rinishdagi xususiy yechimlarini aniqlash mumkin.

Isbot etish mumkinkim, bu topilgan xususiy yechimlar, berilgan sistemaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi.

Misol 1

^x^2x y



_y^3x 4 y

qo' ysak

x ₁e

y ₂e

t

t
tenglamaga

^{(2 )}₁



₂ 0

(*)

_3₁ (4 )₂ 0

xarakteristik tenglama tuzamiz

2 


1 2
3

1

0

4 
² 65 0



2
₁ 1,



1
₂ 5

1

1
1

_₁ ₂ 0





 1

1

2 1

1

2
_3₁

3₂ 0

^x11

e^t

^y12

e^t c

2
5

_3₁ ₂ 0



 3

1

 3

_3₁

₂ 0

^x21

_e5t

^y22

3e^5t c

1

2
^{x(t) c x}

• 
  c x
  

c e^t c e^5t


11 2 21 1 2

_y(t) c x

• 
  c x
  

c e^t 3c e^5t

1 12

2 22 1 2

2. 
   Farazetaylikxarakteristiktenglama ^₁ ^{i}konpleksildizgaegabo’lsin. Xarakteristiktenglamaningkoeffisiyentlarihaqiqiysonalardaniboratbo’lganiuc hunu^{i}gaqo’shmabo’lgan ^₂ ^{i}kompleksildizgaxamegabo’ladi..
   

e
Xarakteristik tenglamaning yechimi

₁ i

ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning

y _j 

(i) x

j

_j

_ex_eix

_j

e^x (cosx i sin x)

_j ^{kompleks son bo’lgani uchun uni} _j


x
mumkin. U xolda

_1/

• 
  i_{2 /} ^{ko’rinishda yozish}
  

y _j (_ij

x

• 
  i_{2 j} )e
  

(cosx sin x) e^x

(_ij cos x _{2 j} sin x) 

• 
  ie
  

(_ij sin x _{2 j} cos x)

x

^yij

^y2 j

e (_ij cos x _{2 j} sin x)

ij 2 j
e^x ( sin x  cos x)
( j 1, n)

yechimlarga ega bulamiz. Bundan kurinadikim xarakteristik tenglamaning bir juft kompleks ildiziga (2) sistemaning 2 ta haqiqiy yechimi mos keladi. Misol 2

_x^x y

1

2


_y^2x 3y

x e^t

y e^t

_(1 )₁



₂ 0

1  1

0

_2₁ (3 )₂ 0

2 3 

² 4x 5 0


1,2

2 i

2 i

_(1 i)₁



₂ 0

1

2
 (1 i)

1 1
1

2
 1 i

_2₁

(1 i)₂ 0

_{~x e}( 2i )t

e^2t (cost i sin t)

^~y (1 i)e^{( 2i )t}

e^2t (cost i sin t) (cost sin t)

^x11

e^2t cos t

2

^y12

e^2t (cost sin t)

2
c₁ , c₂

x₂₁ e

^t sin t

y₂₂ e

^t (cost sin t)

^x(t) c e^2t cos t c

e^2t sin t e^2t (c

cos t c

sin t)

1 2 1 2



1
_y(t) e^2t (c

• 
  c₂
  

) cos t (c₂

• 
  c₁
  

) sin t

v) Faraz etaylik xarakteristik tenglama karrali ildizlarga ega bulsin. U xolda sistemaning umumiy yechimini oldingi metodlar bilan topa olmaymiz. Lekin bu xolda xam uning umumiy yechimini elementar funksiyalar yordamida topish mumkin.

^{O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamada qurgan edikim agar} _j

xarakteristik tenglamaning k- karrali ildizi bo’lsa, tenglamaning bu ildizlariga mos bo’lgan k ta chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlari mavjud bo’ladi.

Xulosa

1. 
   Birinchi tartibli differensial tenglamalarning muhim sinflaridan biri Bernulli differensial tenglamasi va uni yechishda muhim rol o`ynaydigan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechishni turli usullarini o`rganish muhim ahamiyatga egadir.
   
2. 
   Bitiruv malakaviy ishida chiziqli tenglamalarning yechishning Eyler- Bernulli va Lagranj usullari bayon etiladi va bu usullar konkret misollarni yechishda tadbiq etiladi.
   
3. 
   Bernulli differensial tenglamasini yechimini mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremaning isboti keltiriladi, shuningdek bu tenglamaning maxsus yechimi masalasi ham o`rganiladi.
   
4. 
   Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan tenglamalarning sinflari (Darbu, Yakobi va Rikkate differensial tenglamalari) o`rganiladi va bu hollarga doir konkret misollarni yechish ko`rsatiladi.
   
5. 
   Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan fizikayiy masala (argonning sirpanishi haqida masala ) o`rganiladi va uni yechishi bayon etiladi.
   

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:

1. 
   A.S. Piskunov. Differensial va integral hisob. T. «O’qituvchi», 1974 y ,54
   

– 100 betlar.

2. 
   L.E.Elsgolts. Differensialnie uravneniya i variatsionnoe ischislenie. M.
   

,»Nauka» , 1969 g. ,s . 85 – 124 .

3. 
   L.S.Pontryagin. Differentsialnie uravneniya i ix prilojeniya. M., Nauka , 1965 g., s.41 – 66 .
   
4. 
   M.S. Salohitdinov, O’.N. Nasritdinov. Oddiy differensial tenglamalar. T.
   

«Uzbekiston» , 1994 y., 103 – 155 betlar .

5. 
   V.P. Minorskiy. Oliy matematikadan masalalar to’plami. T. «O’qituvchi», 1977, 234-240 betlar.
   

6. www.ziyonet.uz