Differensial tenglamalar differensial tenglama tushunchasi

2. Differensial tenglama

Aytaylik, _{ } o‘zgaruvchi (erkli o‘zgaruvchi), _{ } esa uning funksiyasi bo‘lib, …, lar bu funksiyaning birinchi, ikkinchi va h.k. -tartibli hosilalari bo‘lsin. o‘zgaruvchi, noma’lum  funksiya va uning turli tartibdagi hosilalari qatnashgan tenglama differensial tenglama deyiladi.

Yuqoridagi (2) va (3) tenglamalar differensial tenglamalar bo‘ladi.
larni bog‘lovchi ushbu
(4)
tenglik differensial tenglamaning umumiy ko‘rinishini ifodalaydi. (4) differensial tenglamada qatnashgan noma’lum funksiya hosilasining yuqori tartibi (4) differensial tenglamaning tartibi deyiladi.
Masalan,

birinchi tartibli differensial tenglamalar,

ikkinchi tartibli differensial tenglamalar bo‘ladi. Xususan, birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy ko‘rinishi

ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy ko‘rinishi esa

shaklda yoziladi.


3. Differensial tenglamaning yechimi

Umumiy ko‘rinishga ega bo‘lgan

(4)
differensial tenglamani qaraylik.
Faraz qilaylik, funksiya biror oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, shu oraliqda hosilalarga ega bo‘lsin.
Agar (4) tenglamadagi ning o‘rniga , ning o‘rniga , ning o‘rniga va h.k., ning o‘rniga qo‘yilganda (4) tenglama ayniyatga aylansa:

funksiya (4) differensial tenglamaning yechimi deyiladi.
Masalan, funksiya ushbu
(5)
birinchi tartibli differensial tenglamaning yechimi bo‘ladi. Haqiqatan ham,

larni (5) tenglamadagi  va lar o‘rniga qo‘ysak, u holda

bo‘ladi. Ayni paytda
( – o‘zgarmas son) (6)
funksiya ham shu tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Chunki,

larda (5) tenglama ayniyatga aylanadi:

Differensial tenglamaning (6) ko‘rinishdagi yechimi uning umumiy yechimi deyiladi. Bu umumiy yechimda ixtiyoriy o‘zgarmas ning biror tayin qiymatidagi yechim (5) tenglamaning xususiy yechimi deyiladi.
Demak, differensial tenglamaning umumiy yechimdagi ixtiyoriy o‘zgarmas _{ } ning turli qiymatlarida differensial tenglamaning xususiy yechimlari (ular cheksiz ko‘p bo‘ladi) hosil bo‘lib, umumiy yechim bu xususiy yechimlarning barchasini o‘zida mujassamlashtiradi. Boshqacha qilib aytganda umumiy yechimdan tenglamaning barcha xususiy yechimlari kelib chiqadi.
Ammo yechimga ega bo‘lgan (bu yechimni  deylik) shunday differensial tenglamalar borki, bu  yechim qaralayotgan differensial tenglamaning umumiy yechimdan (ixtiyoriy o‘zgarmas _{ } ning hech bir qiymatidan) kelib chiqmaydi. Masalan,
(7)
differensial tenglamaning umumiy yechimi

bo‘ladi. Chunki,

lar berilgan tenglamani ayniyatga aylantiradi:

Ayni paytda funksiya (7) differensial tenglamaning yechimi bo‘lib ( bu ravshan), u umumiy yechimdan ( ning hech bir qiymatida) bu yechim kelib chiqmaydi. Odatda bunday yechim qaralayotgan differensial tenglamaning maxsus yechimi deyiladi. Differensial tenglamaning umumiy yechimidan xususiy yechim argumenti biror qiymatni qabul qilganda funksiya berilgan qiymatni qabul qilsin degan shart asosida hosil qilinadi. Bunda boshlang‘ich qiymatlar deyiladi, keltirilgan shart boshlang‘ich shart deyilib,
bo‘lganda
yoki

kabi yoziladi.
Umumiy yechimdagi o‘zgarmas shu shart asosida topiladi. Masalan, yuqorida keltirilgan

differensial tenglamaning umumiy yechimi

ga ko‘ra ushbu

boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi quyidagicha topiladi: larni umumiy yechimdagi va larning o‘rniga qo‘yib,

bo‘lishni, undan esa ekanini aniqlaymiz. ning bu qiymatini umumiy yechimdagi ning o‘rniga qo‘yib, izlanayotgan xususiy yechim

bo‘lishini topamiz.
Differensial tenglamaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish differensial tenglamalar nazariyasining muhim masalalaridan biri hisoblanadi. Odatda bu masala Koshi masalasi deyiladi.