Differensial hisobning asosiy teoremalari. Teylor formulasi

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
funksiya kesmada Ferma teoremasining shartlarini qanoatlantiradimi?

Yechish: Berilgan funksiya [1;2] kesmada monoton o’suvchi bo’lib, u o’zining eng katta yoki eng kichik qiymatiga kesmaning chetlarida, ya’ni nuqtada o’zining eng kichik qiymatiga va nuqtada o’zining eng katta qiymatiga erishadi. Bu esa berilgan funksiya kesmada Ferma teoremasining shartlarini qanoatlantirmasligini bildiradi.

= funksiya kesmada Roll teoremasi shartlarini qanoatlantiradimi?

Yechish: Funksiya kesmada uzluksiz va . Demak, berilgan funksiya Roll teoremasining ikkita shartini qanoatlantiryapti. Funsiya’ning hosilasi

bo’lib, u dan farqli nuqtalarda mavjud. Bu nuqta ichki nuqta bo’lib, u nuqtada Roll teoremasining uchinchi sharti bajarilmayapti. Bu esa berilgan funksiyaga Roll teoremasini qo’llab bo’lmasligini bildiradi.

3. funksiya kesmada Lagranj teoremasining shartlarini qanoatlantiradimi? Agar qanoatlantirsa, = formulada muhim o’rin tutuvchi nuqtani toping.

Yechish: Berilgan funksiya kesmada uzluksiz va uning barcha ichki nuqtalarida chekli hosilaga ega bo’lgani uchun Lagranj teoremasini qanoatlantiradi. nuqtani aniqlash uchun

ni ko’rinishda yozamiz.

, , bo’lgani uchun

, , .

Demak, bo’lar ekan.

4. va funksiyalar [1;4] kesmada Koshi teoremasi shartlarini qanoatlantirishini tekshiring va unga mos ning qiymatini toping.

Yechish: va funksiyalar [1;4] kesmada uzluksiz hamda ular va chekli hosilalarga ega. Bundan tashqari, ning har qanday qiymatlarida noldan farqli. Demak, berilgan funksiyalar uchun [1;4] kesmada Koshi teoremasini qo’llash mumkin. Ya’ni,

, , (1Oxirgi tenglamani yechib, va larni topamiz. Bulardan uchki nuqta hisoblanadi. Demak, bu nuqta izlanayotgan nuqta ekan.

5. ko’phadni Teylor formulasi yordamida ning darajalari bo’yicha yoying.

Yechish: Ko’phadni darajalari bo’yicha yoyish uchun ko’phadni va uning hosilalarini nuqtadagi qiymatlarini topish kerak.

.

; ;

; ; ;

.

; ;

; ; ;

; …, ( ).

Topilganlarni Teylor formulasiga qo’yamiz:

yoki

.

6. ning gacha aniqlikdagi taqribiy qiymati aniqlansin.

Yechish: ning qiymatini taqribiy hisoblash uchun funksiya uchun yozilgan formuladan foydalanamiz:

Bu formulaga ni radian o’lchovini qo’yamiz va

ni gacha aniqlikdagi taqribiy qiymatini hisoblash uchun yozilgan formulada nechta hadni olish kerakligini aniqlaymiz:

,

,

.

Demak, . Shuning uchun berilgan aniqlikdagi qiymatni hosil qilish uchun formuladagi dastlabki uchta hadni olish kifoya.