Differensial geometriya va topologiya

Mavzuga oid misol va masalalar.

1-masala.Tekislikda funksiyaning grafigidan iborat chiziq berilgan bo‘lsin. Chiziqning abssissasi x=-1 ga teng bo‘lgan M nuqtadagi urinma va normali tenglamasini tuzing .



Yechish.Avvalo M nuqtaning ordinatasini topamiz:

Endi chiziqning parametrik tenglamalarini

ko‘rinishda yozib, t=-1 nuqtadagi hosilalarning qiymatlarini hisoblaymiz: . Natijada chiziqning urinmasi va normali tenglamalarini mos ravishda ushbu ko‘rinishda va yoza olamiz.

Chiziq tenglamasivektor ko‘rinishda

tenglama bilan berilgan bo‘lsa, urinma va normali tenglamalarni vektor o‘rinishda mos ravishda quyidagicha ifodalash mumkin:

2-masala. Parabola funksiyaning grafigidan iborat bo‘lsa, uning qaysi nuqtalaridagi urinmalari to‘g‘ri chiziqqa perpendikular bo‘ladi.

Yechish.Parabolaning nuqtasida o‘tkazilgan urinma tenglamasi ushbu

ko‘rinishda bo‘ladi. Bu tenglamadan

tenglikni, to‘g‘ri chiziqlarningperpendikular ekanligidan esa shartni hosil qilamiz. Bundan qiymatni topamiz. Endiizlanayotgan nuqtaning ordinatasini aniqlaymiz:

Demak, (2,7) nuqtada o‘tkazilgan urinmaberilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikular bo‘larekan. Haqiqatan ham, bu nuqtada o‘tkazilganurinma tenglamasi ko‘rinishdabo‘lib, u berilgan to‘g‘ri chiziqqa

perpendikular bo‘ladi.

3-masala. Chiziq parametrik tenglamalarga ega bo‘lsa, parametrning t=1 qiymatiga mos keluvchi nuqtada o‘tkazilgan urinma va normal tekislik tenglamalarini tuzing.

Yechish. Berilganlardan foydalanib, parametrning 1 t qiymatiga mos keluvchi chiziq nuqtasi va urinma vektorining koordinatalarini aniqlaymiz:

Endi, berilgan chiziqning urinmasi va normali tenglamalarini mos ravishda quyidagicha yozamiz: