Differensial geometriya va topologiya

Misollar:

1. Har qanday to’g’ri chiziq elementar egri chiziqdir. Haqiqatdan, agar 1 to’g’richiziq

parametrik tenglamalar bilan berilgan bo’lsa,

moslik interval bilan l to’g’ri chiziq nuqtalari o’rtasida topologic akslantirish bo’ladi.

2. Ochiq intervalda aniqlangan har qanday uzluksiz funksiyaning grafigi elementar egri chiziqdir. Haqiqatdan ham, agar funksiya da aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, moslik interval bilan funksiya grafigi nuqtalari o’rtasida gomeomorf akslantirishni beradi.

3. Biz birinchi kursda o’rgangan ikkinchi tartibli chiziqlardan faqat parabola elementar egri chiziq bo’ladi. Haqiqatdan parabola ochiq intervalning topologik akslantirishdagi obrazidir, chunki parabolani uzluksiz funksiyaning grafigi sifatida tasvirlash mumkin.

Differensial geometriya kursida egri chiziq (1) ko’rinishdagi parametric tenglamalar yordamida o’rganiladi, ya’ni γ chiziqnini aniqlovchi f akslantirish tanlanib, uning parametrik tenglamalari yoziladi. Bu holda γ chiziqni parametrlangan elementar egri chiziq deb ataymiz. Matematik analiz asosiy matematik apparat bo’lganligi uchun funktsiyalarga qo’shimcha shartlar qo’yamiz.

egri chiziq parametrik tenglama bilan berilgan bo’lsin. bo’lsin. nuqta esa nuqtaga yaqin turgan nuqta bo’lsin. lesa nuqtadan o’tuvchi ixtiyoriy to’g’ri chiziq bo’lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritib olamiz: -masofa.



Ta’rif.Agar M nuqta chiziq bo’ylab nuqtaga intilganda ifodanolga intilsa, l to`g`ri chiziq, chiziqning nuqtasidagi urinmasi deyiladi.



Teorema.Regulyar chiziqning ixtiyoriy nuqtasida urinma mavjud va yagona bo’ladi. Bu urinma ga parallel bo’ladi. Urinmaning kanonik tenglamasi quyidagicha bo’ladi:

(1)

Isbot. Avvalo, urinma mavjud deb olib, ga parallel bo’lishini ko’rsatamiz. Lto’g’ri chiziq urinma bo’lsin. e esa undagi birlik vektor bo’lsin:

(2)

Ikkinchi tomondan . Demak, ekan, ya’ni .