Дифференциальные уравнения с частными производными Дифференциальное уравнение в частных производных

5. Почти-решение дифференциального уравнения с частными производными

В этом разделе не хватает информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка стоит на статье с 12 мая 2011.

Почти-решение дифференциального уравнения с частными производными — понятие, введенное В. М. Миклюковым в связи с исследованиями решений с неустранимыми особенностями.
Подборку статей, касающихся описания свойств почти-решений (принцип максимума, неравенство Гарнака и др.) см. на http://www.uchimsya.info.

6. Примеры
Одномерное уравнение теплопроводности
Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне имеет вид

где u(t,x) — температура, и α — положительная константа, описывающая скорость распространения тепла. Задача Коши ставится следующим образом:
,
где f(x) — произвольная функция.

Уравнение колебания струны

• 
  
  

Здесь u(t,x) — смещение струны из положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c — скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши в начальный момент времени, следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:



Двумерное уравнение Лапласа
Уравнение Лапласа для неизвестной функции двух переменных имеет вид:

• 
  
  

Его решения называются гармоническими функциями.