Дифференциал тенгламани ечишда параметр киритш усули. Таянч иборалар

МАВЖУДЛИК ВА ЯГОНАЛИК ТЕОРЕМАСИ.
ёпик сохада каралаётган функциялари куйидаги шартларни каноатлантирсин:

1. 
   функциялари D сохада барча аргументларига нисбатан аникланган ва узлуксиз булсин. Функциялар курилаётган сохада узлуксиз булгани учун у шу сохада чегараланган булади.
   

Яъни ихтиёрий
нуктаси учун

шарти бажарилади. Бунда

2. 
   функциялари D сохада га нисбатан Липшиц шартини каноатлантирсин.
   

Яъни ихтиёрий иккита

нукталар учун

шарт бажарилсин.
Бунда L мусбат сон.
У холда (5) тенгламалар системаси х=х₀ булганда y_i(x₀)=y_i⁽⁰⁾ бошлангич кийматларни каноатлантирувчи ягона y_i=y_i(x) ечимлар системаси мавжудки, бу ечимлар системаси х нинг ораликдаги хамма кийматларида аникланган ва узлуксиз буладилар.
Бунда .
Агар f_i функцияларнинг хаммаси у_j га нисбатан чегараланган хусусий хосилага эга булсалар, яъни

у холда бу функциалар Липшиц шартини каноатлантиради.
Энди (5) тенгламалар системасини унга эквивалент булган битта n-нчи тартибли дифференциал тенгламага келтиришни караймиз.
(5) системадан биринчисини олайлик
(6₁)
(6₁) ни х га нисбатан дифференциаллаймиз.
(6₂)

(6₂) да урнига (5) дан унинг кийматини келтириб куйсак.

(7₂)
(7₂) уз навбатида яна х га нисбатан дифференциаллаймиз.
(6₃)
Бунда хам лар урнига (5) дан унинг кийматларини келтириб куйсак.
(7₃)
Худди шундай давом эттирсак, натижада
(7_n1)
(7_n)
га эга буламиз
(6₁), (7₂),…..,(7_n-1) ларни битта система деб караймиз.
(6)
Агар (6) системада булмаса
(6) системадан n-1 та номаълум ларни лар оркали ифодалаш мумкин. Бу кийматларни яъни ларни (7_n ) куйсак
(7)
битта n-чи тартибли дифференциал тенгламага эга буламиз, (7) тенгламани хосил булишидан маълумки y₁,y₂,…,y_n лар (5) системанинг ечимлари булсалар, у холда y₁ (7) тенгламанинг ечими булади, ва аксинча , агар y₁ (7) дифференциал тенгламанинг ечими булса, у холда

хосилаларни топиб уни (6) тенгламага олиб бориб куйсак y₂,y₃,…,y_n ларни аниклаш мумкин булади. Бу топилган y₁,y₂,…,y_n

ечимлар (5) системани каноатлантиради.
Саволлар

1. 
   Юкори тартибли дифференциал тенгламанинг умумий куринишини ёзинг.
   
2. 
   Юкори тартибли тенгламани, биринчи тартибли тенгламалар системасига келтириш мумкин-ми?
   
3. 
   Кандай шартлар бажарилганда, юкори тартибли тенгламаларнинг ечими мавжуд ва ягона булади.
   
4. 
   Липшиц шарти нимадан иборат.
   
5. 
   Дифференциал тенгламаларнинг нормал системасини, битта юкори тартибли тенгламага келтириш мумкин-ми?