Determinantlar 2 tartibli (2×2 o‘lchovli) matris determinant deb qarama-qarshi burchakdagi elementlar ko‘paytmasining ayirishdah hosil bo‘lgan songa aytiladi

Ta’rif. n-tartibli kvadrat matritsaning determinanti deb, quyidagi tenglik bilan aniqlangan songa aytiladi:

Teorema (Lаplаs tеоrеmаsi). Istаlgаn vа lаr uchun

tеnglik o‘rinli bo ‘ladi.
Misol. determinant hisoblansin.
I usul. Dastlab, to‘rtinchi satr elementlari bo‘yicha yoyib hisoblaymiz

II usul. Endi, determinantning xossalaridan foydalanib, uchinchi ustun elementlarini nolga aylantiramiz va shu ustun bo‘yicha yoyib hisoblaymiz:
=

Bu usulni “determinantni tartibini pasaytirib hisoblash usuli” deb ham yuritiladi.

2.2. Teskari matritsa

Teskari matrisa formulasini topishdan oldin ba’zi zarur tushunchalar bilan tanishamiz.

Transponirlangan matrisa

Marisa mos satrlarini uning mos ustunlariga almashtirishdan hosil bo‘lgan matrisaga transponoirlangan matrisa deyiladi. A matrisaning trasponirlangani A^T kabi belgilanadi.

Masalan , uchun transponirlangan matrisa


Kofaktor matrisa

Matrisa har bir elementini uning algaebraik to‘ldiruvchisi bilan almashtirishdan hosil bo‘lgan matrisa kofaktor matrisa deyiladi va u C bilan belgilanadi.

Masalan , uchun
Bu matrisa elementlari qanday hisoblanganini o‘rganaylik. A matrisa algebraik to‘ldiruvchisini hisoblash uchun shu element joylashgan I satr va j ustu o‘chirilib, hosil bo‘lgan determinant ishora aniqligida olinadi.
C matrisa elementlari quyidagicha hisoblangan

va h.k.
C matrisa qolgan elementlarni o‘zingiz tekshiring.


Biriktirilgan matrisa

Kofaktor matrisaning trasponirlangan matrisasiga biriktirilgan matrisa deyiladi va a matrisaning biriktirilgan matrisasi Adj A kabi belgilanadi.

Masalan, matrisa uchun
Yuqoridagi misoldagi matrisa uchun kofaktor matrisa va biriktirilgan matrisa .


Teskari matrisa

Xos bo‘lmagan, ya’ni | A | determinant nol bo‘lmagan, A matrisaning teskari matrisasi

formula yordamida hisoblanadi..
Misol. matrisaga teskari matrisa topilsin.
Yechish. Bu matrisa uchun yuqoridagi misolda biriktirilgan matrisa topgan edik. Bu matrisa determinantini hisoblaymiz

Shuning uchun,
AdjA =
Bo‘lgani uchun teskari matrisa quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi

Bu matrisani hisoblash ko‘p vaqt talab etadi, lekin siz bu usul asosiyligini bilishingiz kerak, elektron jadvalda hisoblashdan oldin. Endi misol yordamida har bir etapni aniqlaylik. Soddalik uchun 2x2 o‘lchovli holni qaraylik.
Misol. matrisaga teskari matrisa toping.
Yechish. A matrisa to‘rt elementli bo‘lgani uchun, kofaktor matrisa bosh diagonal elementlari qarama-qarshi ishorali bo‘ladi.
Bu matrrisaga kofaktor matrisa

matrisa bo‘ladi.
Bu matrisaga biriktirilgan matrisa
AdjA =
bo‘ladi.
Bu matrisa determinanti
.
Demak bu matrisaga teskari matrisa³
.