|
§ 1.2 Векторные, векторные метрические и нормированные пространства. Абсолютно сходящиеся ряды в банаховых пространствах
Можно ли рассматривать ряды не только на числовой прямой?
Ответ: можно, но для этого на множестве должны быть заданы некоторые дополнительные структуры:
1) Необходима операция сложения.
В этом случае множество , в которой предполагается суммирование должно быть группой относительно операции сложения. И тогда можно рассматривать частичные суммы ряда
,
,
…
,
…
2) Понятие предела последовательности. Оно необходимо для того чтобы имело смысл говорить о сумме ряда .
Как правило, понятие предела последовательности рассматривается в метрических пространствах . Тогда можно будет говорить об окрестностях, а следовательно и о пределах последовательностей, функций и т.д.
Эти две структуры должны быть согласованы между собой. Это значит, во множестве должно быть введено расстояние (метрика) согласованное с суммой (операция сложения непрерывна относительно метрики) и переход к противоположному элементу.
, .
Чаще всего, ряды и их суммы рассматривают в векторных нормированных пространствах, в которых расстояние определено через норму .
Ряды в векторном пространстве
Практически все основные понятия теории числовых рядов изложенные в первой главе можно перенести на случай рядов в нормированном векторном пространстве.
Множество называется векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:
1. Каждой паре элементов и из отвечает элемент из , называемый суммой и , причём:
− сложение коммутативно;
− сложение ассоциативно;
− существует единственный нулевой элемент 0 (для любого из );
− для каждого элемента из существует единственный противоположный элемент.
2. Каждой паре и , где − число, а элемент из , отвечает элемент , называемый произведением и , причём:
− умножение на число ассоциативно:;
− для любого элемента из .
3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:
− умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
− умножение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.
Нормой в векторном пространстве называется отображение, которое каждому элементу ставит в соответствие неотрицательное число , таким образом, что при этом выполняются аксиомы:
1) для любого , − нулевой элемент.
2) для любого и любого числа .
3) , для любых .
То векторное пространство вместе с определенной в нем нормой называется нормированным пространством.
Рядом элементов нормированного пространства называется выражение, имеющее вид суммы бесконечного числа слагаемых, принадлежащих пространству :
(1)
Так же ряд обозначается символом . Выражение (1) не является суммой в настоящем смысле, так как сложение элементов нормированного векторного пространства определено лишь для конечного числа слагаемых.
Частичными суммами ряда называют суммы конечного числа первых членов ряда.
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится по норме пространства. Предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда: . Если написано , то имеется в виду, что ряд сходится к , то есть:
.
Многие теоремы о числовых рядах практически дословно переносятся на случай рядов в нормированных пространствах, см. след стр.
Сходимость ряда в нормированном пространстве чаще всего выводят из фундаментальности последовательности его частичных сумм (критерий Коши). Не во всяком метрическом пространстве из фундаментальности следует сходимость. Такой переход гарантировано верен, только если пространство является полным.
Нормированное пространство является полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится. Полное нормированное пространство называется банаховым.
Всюду далее, если не оговорено противное, ряды будут рассматриваться в банаховых пространствах.
Теорема (необходимое условие сходимости ряда).
Если ряд сходится, то его общий член стремиться к нулю, т.е. .
Теорема (о сумме двух сходящихся рядов).
Сумма двух сходящихся рядов есть сходящийся ряд.
Доказательство. Пусть ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и . Будем доказывать, что ряд сходится и его сумма равна .
.
Теорема (об умножении сходящегося ряда на константу).
Если ряд сходится и его сумма равна , то и ряд , где - некоторая константа, также сходится, и его сумма равна .
Остатком сходящегося ряда называется вектор . Остаток это сумма ряда .
С ростом остаток стремится к нулю. Так же остатком называют не сумму ряда , а сам ряд .
Отрезком ряда называется сумма конечного числа членов ряда, взятых подряд: . Так же отрезком называют и само множество .
Теорема (критерий Коши сходимости ряда).
Ряд элементов банахова пространства сходится в том и только том случае, если стремится к нулю последовательность его отрезков: , то есть
.
Доказательство. Пусть ряд сходится: при . Тогда , таким образом условие Коши выполнено.
Пусть , то есть условие Коши выполнено. Оно означает, что частичные суммы образуют последовательность Коши (фундаментальную последовательность). Так как пространство полно, то каждая фундаментальная последовательность в нем сходится, значит и данная последовательность сходится, что и требовалось доказать.
Доказательство критерия Коши аналогично доказательству в случае числовых рядов, только вместо знака модуля используется знак нормы и используется неравенство треугольника (аксиома 3) нормы).
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится числовой ряд составленный из модулей его членов: .
Ряд является рядом из неотрицательных чисел.
Теорема (об абсолютной сходимости).
Пусть ряд абсолютно сходится, тогда это сходящийся ряд.
Доказательство. Так как , то по критерию Коши . По неравенству треугольника . Значит . Согласно критерию Коши, ряд сходится, что и требовалось доказать.
Ряд называется безусловно сходящимся, если он сходится при любой перестановке своих членов.
Ряд называется условно сходящимся, если он сходится но не безусловно.
Из первой главы известно, что числовой ряд сходится безусловно тогда и только тогда, когда он сходится абсолютно. Из предыдущей теоремы следует, что в одну сторону эта связь сохраняется и в общем случае: из абсолютной сходимости следует безусловная. В другую же сторону связь разрушается:
Пусть , , где ненулевая координата стоит на -ом месте. Тогда ряд при любой перестановке его членов сходится к элементу , но не сходится абсолютно, так как . [4]
Из сказанного выше следует, что многие свойства векторных рядов аналогичны соответствующим свойствам числовых рядов. Особенно интересным в теории векторных рядов является аналог теоремы Римана.
Do'stlaringiz bilan baham: |
