Департамент образования города Москвы

Достаточные условия сходимости рядов

Теорема 5 (Критерий сходимости). Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.
Доказательство. Необходимость. Пусть ряд сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. И поэтому является ограниченной как всякая сходящаяся последовательность.
Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена. Т.к. ряд с неотрицательными членами, то его частичные суммы образуют не убывающую последовательность: . По теореме Вейерштрасса монотонная ограниченная последовательность сходится, т.е. сходится ряд .
Теорема 6 (Признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Доказательство. Обозначим через и соответственно частичные суммы рядов и . Из неравенства следует, что (7)
Если ряд сходится, то по теореме 5 (необходимость) последовательность его частичных сумм ограничена. Но тогда , откуда по той же теореме 5 (достаточность) следует, что ряд сходится.
По контрапозиции из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Пример: Ряд сходится, т.к. сходится ряд из членов геометрической прогрессии , а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда сходящейся геометрической прогрессии: .
Пример: Если , то ряд расходится, поскольку его члены не меньше членов гармонического ряда , а гармонический ряд расходится.
Теорема 7 (Признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда а) при ряд сходится; b) при ряд расходится.
Доказательство.

1. 
   Пусть и . Докажем, что ряд сходится. По определению предела числовой последовательности для любого существует номер N такой, что при выполняется неравенство . Отсюда следует, что . (8)
   

Т.к. , то можно взять настолько малым, что будет выполнено неравенство . Полагая , на основании правого из неравенств (8) имеем , или для n=N, N+1, N+2, … Придавая n эти значения, из последнего неравенства получаем

т.е. члены ряда (9)

меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии:


(10)

Т.к. , то ряд (10) сходится. Тогда согласно признаку сравнения ряд (9) также сходится. Но ряд (9) получен из данного ряда в результате отбрасывания конечного числа первых членов, следовательно, по теореме 1 ряд сходится.

b) Пусть теперь . Докажем, что ряд расходится. Возьмем настолько малым, чтобы . Тогда при в силу левого из неравенств (8) выполняется неравенство или . Таким образом, члены ряда, начиная с некоторого номера N, возрастают с увеличением их номеров, т.е. общий член ряда не стремится к нулю при . Следовательно, согласно теореме 4, ряд расходится.
Замечание. При ряд может, как сходится, так и расходится. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.
Пример: Ряд сходится, так как





Пример: Ряд расходится, так как





Теорема 8 (Признак Коши). Пусть дан ряд с положительными членами, если


(13)

то при ряд сходится, а при q>1 расходится, и при этом .

Доказательство, как и в случае признака Даламбера получается в сравнении с геометрической прогрессией.
Теоремы 7 и 8 это так называемые признаки сходимости в предельной форме. В некоторых случаях оба признака используют в обобщенном виде.
Действительно, наличие предела в теоремах 7 и 8 на самом деле не существенно, достаточным является наличие оценок сверху


или

при всех достаточно больших .

Критерий Коши (сходимости числового ряда). Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы каждому числу отвечал такой номер , что при неравенство


< (15)

выполняется, для всех натуральных .

Иными словами: сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно далеким, должна быть произвольно мала.
Критерий Коши сходимости числового ряда сразу следует из критерия Коши сходимости числовой последовательности .