Dekart koordinatalar sistmasi’nda bazis

Dekart koordinatalar sistmasi’nda bazis.

Tenzorlar bo’liminde ortonormallasqan bazis vektorlari’n belgilew ushi’n

, vektorlardi’ qaraymi’z. Bul vectorlar ortonormallasqan bolg’ani’ ushi’n

( = ( =( ) = 1; ( = ( =( ) = 0, (1.1)

boladi’.

Eger Dekart koordinatalar sistemasi’nin’ ortlari’

(1.2)

ten’likler menen baylani’sqan bolsa bunday koordinatalar sistemasi’ on’ sistemani’ payda etedi dep ataladi’.

Bunday bekgilewlerde bazi bir vector dekart bazisleri arqali’

(1.3)

ko’rinisinde jazi’ladi’. Noqatti’n’ radius vektori’ bolsa

(1.4)

ko’rinisinde boladi’.

(1.3) ha’m (1.4) an’latpalari’nda indeks k ji’ynaw indeksi oni’ o’zgertiw menen (1.3) ha’m (1.4) an’latpalari’ni’n’ ma’nisi o’zgermiydi: .

Tenorlardi’ an’lati’wda Eynshteyn qag’i’ydasi’nan paydali’ladi’: eger an’latpada indeks ta’kirarlani’p kelse, usi’ indeks boyi’nsha jiynaladi’ belgi tu’sirip jazi’ladi’ ( u’sh o’lshemli ken’islikte indeks ma’nisi 1 den 3 ge shekem o’zgeredi. Bul kelisiwden son’ (1.3) ha’m (1.4) an’latpalari’ to’mendegishe jazi’ladi’:

, (1.5)

Mi’sal. ( , ) an’latpani’ esaplan’.

Indeks ta’kirarlani’p kelgenligi ushi’n

( , )= ( +( +( ) = 3

boladi’.

Kroneker belgisi. Bul belgi to’mendegishe ani’qlanadi’:

(1.6)

Kroneker belgisi 9 elementten ibarat birlik matritsani’ beredi:

(1.7)

Kronoker belgisinen paydalani’p ortonormallasqan basis (1.1) in qi’sqasha

( = (0.1)

ko’rinisinde jazi’w mu’mkin.

Mi’sal. an’latpani’ a’piwayi’lastirayi’q.

bolg’ani’ ushi’n (1.6) na ko’re

Boladi’.Soni’n’ ushi’n ,

Ortlardi’ almasti’ri’w

ha’m Dekart basis vektorlari’ beilgen bolsi’n ( su’wretke qaran’) . Bul basis vektorlar arasi’ndag’i’ baylani’sti’ tabami’z. Buni’n’ ushi’n bazisti’ arqali’ ha’m kerisinshe boli’wi’n ko’remiz:

(1.9)

= (1.10)

Bul jayi’lmalarda k indeks erkin, m indeks bolsa ji’ynaw indeksi. (1.9) g’a ortlardi’ tuwri’ almasti’ri’w (1.10) g’a bolsa keri almasti’ri’w deyiledi. (1.10) I’n (1.9) i’na qoysaq

= (1.11)

(1.11) an’latpani’n’ shep ha’m on’ ta’replerinin’ birdey ortlardag’I’ koeffitsientlerin ten’lep

(1.12)

ten’likke kelemiz. (1.12) tuwri ha’m keri almasti’ri’w koeffitsientleri arasi’ndag’i’ baylani’sti’ an’latadi’. (1.9) di’n’ eki ta’repin vektorg’a, (1.10) di’ bolsa g’a skalyar ko’biytsek

(1.13)

(1.14)

Tuwri’ ha’m keri almasti’ri’w koefficientlerin ani’qlaw imkani’yati’ payda boladi’. (1.13) de indekslerdi almasti’rsaq

, (1.15)

Ha’m buni’ (1.14) menen sali’sti’rsaq,tuwri’ ha’m keri almasti’ri’wlardi’n’ koefficiebtleri arasi’ndag’I’ qatnasti’ tabami’z:

(1.16)

(1.16) dan paydalani’p (1.9) ha’m (1.10) di’ to’mendegishe jazi’w mu’mkin:

(1.17)

(1.18)

(1.12) qatnati’ bolsa

(1.19)

Ko’rinisinde jazi’w mu’mkin.Aqi’rg’i’ ten’likti matritsa ko’rinisinde jazi’w qolayli’. Buni’n’ ushi’n ten’liktin’ shep ta’repinde a’piwayi’lasti’ri’w ori’nlaymi’z:

.

Soni’n’ ushi’n,

(1.20)

Bul jerde E birlik matritsa . (1.20) dan ko’rinip turg’anin’day

. (1.21)

Yag’ni’y tuwri’ almasti’ri’w matritsasi’ ( g’a keri matritsa transpanirlengen matritsag’a ten’ bolar eken.