Davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

2.2 Kesmada uzluksiz bo‘lgan funksiyalarning chegaralanganligi, eng kichik va eng katta qiymatlar
Agar funksiya (a;b) intervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, u holda u (a;b) intervalda uzluksiz deyiladi.
Agar funksiya (a;b) intervalda uzluksiz bo‘lib, a nuqtada o‘ngdan uzluksiz va nuqtada chapdan uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiyaga [a;b] kesmada uzluksiz deyiladi.
Kesmada uzluksiz funksiyalar bir qancha muhim xossalarga ega. Bu xossalarni teoremalar orqali ifodalaymiz. Bunda teoremalarning isbotini keltirmasdan, faqat geometrik talqinini ko‘rsatish bilan kifoyalanamiz.
6-teorema (Bolsano-Koshining birinchi teoremasi). funksiya [a;b] kesmada uzluksiz va kesmaning oxirlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilnsin. U holda shunday nuqta topiladiki, bu nuqtada f(c)=0 bo‘ladi.
Teoremaning geometrik talqini: uzluksiz funksiyaning grafigi o‘qning bir tomonidan ikkinchi tomoniga o‘tganida o‘qni kesadi (25-shakl).
7-teorema (Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi). f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz va f(a)=A, f(b)=B, ATeoremaning geometrik talqini: uzluksiz funksiya bir qiymatdan ikkinchi qiymatga o‘tganida barcha oraliq qiymatlarni qabul qiladi (26-shakl).
8-teorema (Veyershtrassning birinchi teoremasi). Agar f(x) funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda u bu kesmada chegaralangan bo‘ladi.
27-shaklda keltirilgan y=f(x) funksiya kesmada uzluksiz. Bunda uchun .
1-Izoh. Teorema kesma (a;b) interval bilan almashtirilganida o‘rinli bo‘lmasligi mumkin. Masalan, funksiya (0;1) intervalda uzluksiz, lekin chegaralanmagan, chunki
9-teorema (Veyershtrassning ikkinchi teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda u shu kesmada o‘zining eng kichik va eng katta qiymatlariga erishadi.
27-shaklda keltirilgan y=f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz. Bunda u nuqtada o‘zining eng katta M qiymatini va nuqtada o‘zining eng kichik m qiymatini qabul qiladi.
2-izoh. Bu teorema (a;b) interval uchun o‘rinli bo‘lmasligi mumkin. Masalan, f(x)=x funksiya (0;1) intervalda uzluksiz, lekin o‘zining eng kichik va eng katta qiymatlariga erishmaydi.