Dars rejasi: Loran teoremasi 2

18.3. Loran qatorining yagonaligi.

18.1-Jumla. Agar biror halqada

ifodalansa, u holda tenglik o’rinli bo’ladi.

Isbot. Funksiyaning Loran qatori haqidagi teorema isbotidan (18.1) qatorning halqaning ichkarisida, ya’ni halqa ichidagi har bir yopiq to’plamda, tekis yaqinlashishi kelib chiqadi. SHuning uchun bu qatorlarni ga ko’paytirib, hosil bo’lgan qatorlarni aylana bo’yicha hadlab integrallasak,

(18.9)

ga ega bo’lamiz. (18.9) dagi integralni aylananing parametrik tenglamasi , , dan foydalanib hisoblaymiz:

.

Demak, (18.9) dan , ni hosil qilamiz. 18.1-jumla isbot bo’ldi.

18.1-misol. funksiyaga halqada Loran qatoriga yoyilsin. Berilgan funksiyani oddiy kasrlarga yoyamiz: .

Oddiy kasrlarning har birini Loran qatoriga yoyamiz:

, ; (18.10)

, (18.11)

(18.10) va (18.11) dan funksiya Loran qatori bo’lib, bu erda

ekanligi kelib chiqadi.