Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

13.13.2 
frequency response from pole-Zero plot
Each factor of the form (
j
w
- 
z
i
) in the numerator of Eqn. 13.13-1 is a complex number that can be 
thought of as a line directed 
from
s
= 
z
i
to
s
= 
j
w
in 
s
-plane. The magnitude of (
j
w
- 
z
i
) is equal to 
the length of the line and the angle of (
j
w
- 
z
i
) is the angle that the line makes with the positive real 
axis in counter-clockwise direction. Similar interpretation is valid for factors of the type (
j
w
- 
p
i
) in 
the denominator of Eqn. 13.13-1 too. Let 
d
z
i
be the length of the line joining the zero at 
s
= 
z 
i
to the 
excitation signal point 
s
= 
j
w
on the imaginary axis in 
s
-plane. Let the angle that the line makes with 
the positive real axis in counter-clockwise be 
q
z
i
. Similar quantities for a pole at 
s
= 
p
i
are 
d
p
i
and 
q
p
i
. 
Then, the frequency response function 
H
(
j
w
) can be expressed in terms of these lengths and angles as 
H j
K
d d
d
d d
d
z
z
z
p
p
p
z
z
z
p
p
p
m
n
m
n
(
)
(
) (
w
q
q
q
q
q
q
=
∠
+
+ +
−
+
+ +
1
2
1
2
1
2
1
2
))
| (
) |
(
)
| (
) |
(
=
∠
=
K H j
j
H j
K
d d
d
d d
d
z
z
z
p
p
p
m
n
w
q w
w
q
where
and
1
2
1
2
jj
z
i
m
p
i
n
i
i
w
q
q
)
=
−
=
=
∑
∑
1
1
H j
(
)
w
=
×
Gain Factor
Product of zero-distances
Product of pole--distances
(Sum of zero angles) (Sum of pole angles)
∠
−
Hence, we can make a rough sketch of the frequency response function by visualising how the 
various zero-distances and pole-distances vary when the 
w
is taken from 
-∞
to 
+ ∞
in 
s
-plane.
example: 13.13-1
Obtain the frequency response plots for (i) 
H s
s
( )
/ (
)
=
+
a
a
(ii) 
H s
s s
( )
/ (
)
=
+
a
using geometrical 
interpretation of frequency response and obtain expressions for bandwidth in both cases.
Solution (i) 
Figure 13.13-1 shows the pole-zero plot and frequency response function. The pole distance and the 
pole angle are marked in the Fig. 13.13-1. Obviously, the gain magnitude goes to 1/
√
2 times initial 
gain when 
w
= 
a
and the phase at that point is –45
°
. Therefore bandwidth is 
a
rad/s and the function 
is a low-pass function.
4
0.5
0.707
Gain
–0.5
–1
–1.5
2
(–45 deg)
Phase
(rad)
α
α
ω
3
α
4
α
4
π
2
π
1
2
Re(
s
)
Im(
s
)
j
ω
tan
–1
( / )
α
ω
–x
α
( + )
2
α
2
ω
Fig. 13.13-1 
Pole-zero plot and frequency response of 
H 
(
s
) = 
a
/(
s
+ 
a
)

---

13.56
Analysis of Dynamic Circuits by Laplace Transforms
Solution (ii)
Figure 13.13-2 shows the pole-zero plot and frequency response function. The pole distance and the 
pole angle are marked in Fig. 13.13-2. The zero distance is same as the excitation frequency value 
w
and 
the zero angle is 90
°
. Obviously, the gain magnitude goes to 1/
√
2 times the final gain when 
w
= 
a
and 
the phase at that point is 45
°
. Therefore bandwidth is 
a
rad/s and the function is a high-pass function.
| (
)
(
)
tan
H j
j
w
w
a
w
q w
p
w
a
=
+
=
−




−
2
2
1
2
and 
rad
1.5
1
0.5
Phase
Gain
Gain
phase (rad)
2
α
3
α
4
α
α
ω
1 2
Re(
s
)
Im(
s
)
j
ω
tan
−
1
( / )
α
ω
–
x
α
( + )
2
α
2
ω
ω
90°
Fig. 13.13-2 
Gain and phase plots of 
H 
(
s
) = 
s
/(
s
+ 
a
) 
example: 13.13-2
The biquadratic network function 
H s
as
bs c
s
s
n
n
( )
=
+ +
+
+
2
2
2
2
x
w
w
is a second-order low-pass function if 
a 
= 
0, 
b
= 
0 and 
c
= 
w
n
2
. It is a second-order high-pass function if 
a
= 
1 and 
b
= 
c
= 
0. It is a band-pass 
function if 
a
= 
c
= 
0 and 
b
= 
2
xw
n
and it is a band-reject function if 
a
= 
1, 
b
= 
0 and 
c
= 
w
n
2
. The frequency 
response function for low-pass, high-pass and band-pass second-order functions were studied in detail 
in Section 11.11 in Chapter 11 in the context of frequency response of Series 
RLC 
circuit. 
Consider the band-pass function and band-reject function and sketch their frequency response plots 
for 
x
<< 1. 
Solution
The poles of the function are at 
s
j
n
n
= −
±
−
xw
x w
1
2
. Let us consider the band-pass function first.
H s
s
s
s
n
n
n
( )
=
+
+
2
2
2
2
xw
xw
w
The zero of this function is at 
s
= 
0.
The distance of the pole at 
s
j
n
n
= −
+
−
xw
x w
1
2
to the excitation frequency point 
j
w
is denoted 
by 
d
1
and the distance of the pole at 
s
j
n
n
= −
−
−
xw
x w
1
2
to 
j
w
is 
d
2
. The distance of zero at 
s
= 
0 
to 
j
w
is 
w
itself. The pole angles 
q
1 
and 
q
2
are also shown in the pole-zero diagram in Fig. 13.13-3.

---

Sinusoidal Steady-State Frequency Response from Pole-Zero Plots 
13.57
The magnitude function then is 2
xw
n
w
/(
d
1
d
2
) and the phase function is (
p
/2)
-
(
q
1
+ 
q
2
). The 
distances 
d
1
and 
d
2
are equal to 
w
n
at 
w
= 
0 and the sum of the angles 
q
1 
and 
q
2
at that frequency is 
360
°
. Therefore, the gain at zero frequency is 0 (due to the zero-distance of zero) and angle is 90
°
. As 
w
→
∞
, all the three distances go to 
∞
and hence magnitude goes to zero. 
q
1 
and 
q
2
go to 90
°
as 
w
→
∞
and hence the phase angle of frequency response function goes to –90
°
as 
w
→
∞
.
As 
w
increases from 0, the distance 
d
1
decreases and the distances 
d
2 
and 
d
3
increase. Consider 
a pair of 
w
values equal to 
[ (
)
]
1
2
-
-
x
x w
n
and 
[ (
)
]
1
2
−
+
x
x w
n
i.e.,
two 
w
values separated by 
±
real part of the pole from the imaginary part of the pole. The distance 
d
1 
undergoes a variation 
from 2
xw
n
to 
xw
n
and again to 2
xw
n
as 
w
varies from 
[ (
)
]
1
2
-
-
x
x w
n
to 
[ (
)
]
1
2
−
+
x
x w
n
passing through the point 
[ (
)]
1
2
-
x w
n
. The distances 
d
2
and 
d
3
also vary. However, if 
x
<< 1, the 
variation in these two quantities will be negligible over this frequency range and approximation 
d
d
n
n
2
2
3
2 1
≈
−
≈
(
)
x w
w
and
will be satisfactory.
Therefore, 
the 
magnitude 
of 
frequency 
response 
function 
will 
vary 
from 
2
2 2
1
1
2
2
xw w
xw
x w
n
n
n
n
÷
−
≈
(
)
/
to 
2
2 1
1
2
xw w
xw
x w
n
n
n
n
÷
×
−
≈
(
)
and again to 
1
2
/
as 
w
varies from 
[ (
)
]
1
2
-
-
x
x w
n
to 
[ (
)
]
1
2
−
+
x
x w
n
passing through the point 
[ (
)]
1
2
-
x w
n
. The 
imaginary part of poles can be taken as approximately 
w
n
itself for 
x
<< 1. Therefore, the maximum 
gain is 1 at 
w
= 
w
n
and gain goes through 
1
2
/
at 
w
x w
1 2
1
,
(
)
=
∓
n
. The phase angle at 
w
= 
w
n
is zero. 
See Fig. 13.13-3.
0.4
Gain
0.707
(rad/s)
0.2
0.6
0.8
1
1
ω
ω
2
ω
n
ω
Phase (rad)
45°
–45°
(rad/s)
0.5
–1
1.5
0.5
1
1.5
ω
n
ω
x
1
θ
2
θ
d
1
d
2
d
3
Im(
s
)
x
Re(
s
)
90°
j
ω
j
1 – 
n
2
ω
ξ
– 
n
ω
ξ
j
1 – 
n
2
ω
ξ
Fig. 13.13-3 
Pole-zero plot and frequency response plot for a second order band-pass 
function
The center frequency of the narrow band-pass function is seen to be 
≈
w
n
and the bandwidth is 
≈
2
xw
n
. Thus the ratio of center frequency to bandwidth of a narrow band-pass second-order network 
function is 1/2
x
or 
Q
of the denominator polynomial.
Let us consider the band-reject function now.
H s
s
s
s
n
n
n
( )
=
+
+
+
2
2
2
2
2
w
xw
w
The poles are at 
s
j
n
n
= −
±
−
xw
x w
1
2
and zeros are at 
s
j
n
= ±
w
. The distance of the pole at 
s
j
n
n
= −
+
−
xw
x w
1
2
to the excitation frequency point 
j
w
is denoted by 
d
1
and the distance of the 
pole at 
s
j
n
n
= −
−
−
xw
x w
1
2
to 
j
w
is 
d
2
. The distance of zero at 
s
j
n
=
w
to 
j
w
is 
d
3
and the distance 
of zero at 
s
j
n
= −
w
to 
j
w
is 
d
4
. The pole angles 
q
1 
and 
q
2
are also shown in the pole-zero diagram in 

---

13.58
Analysis of Dynamic Circuits by Laplace Transforms
Fig. 13.13-4. The zero-angles are –90
°
and 90
°
for all 
w
< 
w
n
and 90
°
and 90
°
for all 
w
> 
w
n
. The gain 
is given by 
d
3
d
4
/
d
1
d
2
and starts at 1 at 
w
= 
0 since 
d
1
= 
d
2
and 
d
3
= 
d
4
. The gain goes to 1 as 
w
→
∞
since 
d
1
≈
d
2
and 
d
3
≈
d
4
under that condition. The gain is zero at 
w
= 
w
n
since 
d
3
is zero under that 
condition. Therefore, it is a band-reject function.
The pole-zero plots and frequency response plots are shown in Fig. 13.13-4. For 
x
<< 1, it may be 
shown that the gain crosses 1/
√
2 level at 
w
x w
1 2
1
,
(
)
=
∓
n
and that the phase angles at those frequencies 
are –45
°
and 45
°
. The centre frequency of the narrow band-reject function is seen to be 
≈
w
n
and the 
bandwidth is 
≈
2
xw
n
. Thus the ratio of centre frequency to bandwidth of a narrow band-reject second 
order network function is 1/2
x
or 
Q
of the denominator polynomial.
x
1
θ
2
θ
d
1
d
3
d
2
d
4
x
Im(
s
)
Re(
s
)
90°
–90°
0.8
Gain
Phase (rad)
0.707
(
r
/
s
)
j
n
ω
–j
n
ω
– 
n
ω
ξ
n
ω
ω
(
r
/
s
)
ω
1
ω
2
ω
j
ω
j
1 – 
2
n
ω
ξ
1 – 
2
n
ω
ξ
–j
1
0.6
0.4
0.2
–0.5
0.5
1
1.5
–1
–1.5
n
ω
1
ω
2
ω
Fig. 13.13-4 
Pole-zero plot and frequency response plot for a second-order band-pass 
function
The frequency response of higher order network functions can similarly be sketched. A higher 
order 
H
(
j
w
) can be expressed as the product of first-order factors and biquadratic factors. The 
magnitude response for first-order factors and biquadratic factors may be sketched separately first and 
then multiplied together to get the magnitude response curve of 
H
(
j
w
). Phase curves will have to be 
added.
Poles on negative real axis contribute a monotonically decreasing magnitude response. Poles 
close to 
j
w
-axis render resonant peaks in magnitude response and zeros on 
j
w
-axis produce zero 
gain response at the excitation frequencies equal to the zero locations. Thus graphical interpretation 
of frequency response function is a valuable aid to a circuit designer who wants to locate 
poles and zeros of a network function to tailor the frequency response function to meet design
specifications.