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13.11.2 
the three Interpretations for a network function 
H
(
s
)
The first interpretation is the definition of a network function itself. That is, a network function is the 
ratio of Laplace transform of 
zero-state response
to the Laplace transform of input source function 
causing the response.
Two circuit variables are clearly identified in the definition of network function – they are the 
variable used to measure the zero-state response and the variable that was decided by the input source 
function. These two variables can be identified in the 
s
-domain equivalent circuit, and circuit analysis 
in 
s
-domain using nodal analysis or mesh analysis can be performed to arrive at the desired network 
function. The result will be 
H
(
s
) in the form of a ratio of rational polynomials in 
s
. Thus, from this 
point of view, we expect to get an 
H
(
s
) in the following format. We have chosen to make the coefficient 
of highest power in 
s
in the denominator 1.
H s
b
s
b
s
b s b
s
a
s
a s
m
m
m
m
o
n
n
n
( )
=
+
+ +
+
+
+ +
+
−
−
−
−
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
1
1
1
1
1
1
aa
o
′
(13.11-1) 
The second interpretation for 
H
(
s
) comes from the meaning of Laplace transform. Laplace 
transform of a right-sided function is an expansion of that function in terms of functions of 
e
st
type 
with value of 
s
ranging from 
s
-
j
∞
to 
s
+
j
∞
. The value of 
s
is such that the expansion converges to the 
time-function at all 
t
. The components in expansion, 
i.e.,
signals of type 
e
st
are from 
-∞
to 
∞
in time-
domain. Thus, Laplace transform converts a right-sided input into the sum of 
everlasting
complex 
exponential inputs. Therefore, the problem of zero-state response with a right-sided input is translated 
into that of forced response with everlasting complex exponential inputs. And, the ratio of Laplace 
transform of zero-state response to Laplace transform of input source function must then be the same 
as the ratio between forced response to input when input is 
e
st
(not 
e
st
×
u
(
t
)).
Forced response to an everlasting complex exponential input of 1
e
st
was seen to be a scaled version 
e
st
itself; the scaling factor being a complex number that depends on the complex frequency value 
s
. 
(Refer Section 13.1) 
The time-domain circuit can be analysed using nodal analysis or mesh analysis to arrive at the
n
th
-
order differential equation relating the response variable (
y
) to excitation variable (
x
). The result will be

---

Network Functions and Pole-Zero Plots 
13.45
d y
dt
a
d
y
dt
a
dy
dt
a y
b
d x
dt
b
d
x
dt
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
+
+ +
+
=
+
−
−
−
−
−
−
1
1
1
1
0
1
1
1
++ +
+
b
dx
dt
b x
1
0
Then the scaling factor connecting an input of 1
e
st
to the output is 
b s
b
s
b s b
s
a s
a s a
m
m
m
m
o
n
n
n
o
+
+ +
+
+
+ +
+
−
−
−
−
1
1
1
1
1
1
. 
Therefore,
H s
b s
b
s
b s b
s
a s
a s a
m
m
m
m
o
n
n
n
o
( )
=
+
+ +
+
+
+ +
+
−
−
−
−
1
1
1
1
1
1
(13.11-2) 
In this expression for 
H
(
s
), the coefficients come from the coefficients of differential equation 
governing the circuit. In the expression for 
H
(
s
) in Eqn. 13.11-1, the coefficients were the result of 
circuit analysis in 
s
-domain. We conclude that 
n
′
= 
n, m
′
= 
m
, all 
a
′
values are equal to corresponding 
a 
values and all 
b
′
values are equal to corresponding 
b
values.
The third interpretation comes from the definition of network function itself. If the input source 
function is assumed to be 
d
(
t
), then 
H
(
s
) 
becomes
a Laplace transform – it 
becomes 
the Laplace 
transform of impulse response. Thus, 
H
(
s
) is a 
ratio of Laplace transforms
and 
a
Laplace transform 
at the same time. It is a Laplace transform when we invert it in order to find the impulse response.