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13.9.1 
s
-domain equivalents of circuit elements
A resistor 
R
is described by the time-domain element equation 
v
R
(
t
) 
= 
R
i
R
(
t
). Multiplying both sides 
by 
e
-
s
 
t
and integrating from 0
-
to 
∞
, we get 
V
R
(
s
) 
= 
R
I
R
(
s
). Note that we use upper case letters for 

---

The 
s
-Domain Equivalent Circuit 
13.29
Laplace transforms. This relation makes it clear that a resistor is represented by a multiplying factor of 
R
that connects the Laplace transform of current through it to the Laplace transform of voltage across 
it. The ratio of Laplace transform of voltage across an element to the Laplace transform of current 
through it is defined as its ‘
s
-domain impedance’. Thus, 
s
-domain impedance of a resistor is 
R
itself. 
An inductor 
L
is described by the time-domain element equation 
v t
L
di t
dt
L
( )
( )
=
L
, where 
v
L
(
t
) and 
i
L
(
t
) 
are its voltage and current variables as per passive sign convention. Applying Laplace transformation on 
both sides of this element equation, we get 
V s
sLI s
Li
L
L
L
( )
( )
(
)
=
−
−
0
where 
i
L
(
)
0
-
is the initial current in the 
inductor at 
t
= 
0
-
. The Laplace transform 
Li
L
(
)
0
-
represents an impulse voltage 
Li
L
(
)
0
-
d
(
t
) in time-domain 
and hence it is consistent with the fact that a non-zero initial condition in an inductor can be replaced with 
an impulse voltage source in series with the inductor. This
s
-domain equation for an inductor suggests 
the following 
s
-domain equivalent circuit shown in Fig. 13.9-1 (a) for an inductor with 
sL
as its 
s
-domain impedance function. The second equivalent circuit shown in Fig. 13.9-1 (b) follows from 
I s
V s
sL
i
s
L
L
L
( )
( )
(
)
=
+
−
0
and indicates the fact that the 
s
-domain admittance of an inductor is 1/
sL
and that 
non-zero initial condition in an inductor can be replaced with a step current source in parallel with it.
v
L
(
s
)
I
L
(
s
)
sLI
L
(
s
)
Li
L
(0–)
sL
+
+
+ –
–
(a)
–
v
L
(
s
)
I
L
(
s
)
sL
+
(b)
–
i
L
(0–)