Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

t
along the j
w
axis in the signal plane as our basis functions. Limiting ourselves 
to sinusoidal signals drawn from the entire imaginary axis of the signal plane, we raise the question – 
can any arbitrary waveform v(t) be expressed as a sum of scaled functions of e 
j
w
t
type?
The answer is no. But all waveforms that can really appear in a physical circuit can be expanded 
this way. Some of the commonly used idealised waveforms like step, impulse ramp etc. do pose some 
problems in this regard – but the problems are not insurmountable.
We constrain v(t) further and state that it is periodic with period T. Now, do we need all the signals 
on the entire j
w
axis for its expansion? We note that two waveforms with same period will result in 
a periodic waveform with same period when they are combined in a linear combination. Therefore, 
it is reasonable to expect that a periodic v(t) can be expressed as sum of many sinusoidal waveforms 
with same period. But how many sinusoids can be there with a particular period T? There are infinite 
of them – because a sinusoid with a period of T/n, where n is an integer, is periodic with a period 
of T too; there will be n full cycles of it in T s. Therefore, the signal represented by the finite series,
a
n t
b
n t
n
n
N
n
n
N
cos(
)
sin(
),
w
w
o
o
=
=
∑
∑
+
0
1
will be a periodic wave with frequency of 
w
o
rad/s for any finite 
value of N, a
n
and b
n
.
For a particular value of 
w
o
and for each choice of N, we can vary the 2N
+ 
1 numbers – a
n
and 
b
n
– to synthesise infinite number of distinct periodic waveforms of periodicity 2
p
/
w
o
s. Each 
combination of these 2N 
+ 
1 numbers over real number field will result in a unique periodic waveform. 
And we will get yet another set of infinite unique periodic waveforms for another choice of N.
That prompts a question – given a non-sinusoidal periodic waveform v(t) with angular 
frequency 
w
o
rad/s, can we find some N and a set of 2N
+ 
1 real numbers for a
n
and b
n
such that 
the advantage involved will be further enhanced if the forced response component for the 
simple waveshape is easy to determine. therefore, the simple function that should be 
used as a 
basis
function for expanding the complex waveshape must be 
e
st
since that is 
the input function for which a simple scaling will result in the forced response component.

---

9.4
Dynamic Circuits with Periodic Inputs – Analysis by Fourier Series
v t
a
n t
b
n t
n
n
N
n
n
N
( )
cos(
)
sin(
)
=
+
=
=
∑
∑
w
w
o
o
0
1
at all instants? Yes, provided N is allowed to become infinite if 
necessary and v(t) satisfies certain criteria. Almost all periodic functions appearing in Circuit Analysis 
satisfy the required criteria. 
We have answered the first question raised in the introductory section. We take up the second one now.
We recapitulate that the total response of a circuit contains two components – the natural response 
and forced response components. Forced response in a circuit is the component of total response 
contributed by the input source function, i.e., the particular integral of the differential equation 
describing the circuit. Memory elements like inductor and capacitor store energy in them. The stored 
energy in them cannot be changed instantaneously unless infinite voltage/current are allowed in 
the circuit. There may arise a mismatch between the value of stored energy in various components 
immediately before and immediately after applying the input if forced response was the only response 
component. Natural response terms arise due to the difference between energy storage in memory 
elements before applying input and the energy storage predicted by the particular integral part of 
the circuit response. Natural response terms are the complementary solution terms of the circuit 
differential equation and are of e
st
type, where s values are the natural frequencies (i.e. roots of 
characteristic equation of the circuit differential equation) of the circuit. 
Though the terms, forced response and steady-state response, are used interchangeably, they are 
not the same. If a forcing function is applied to a circuit, there will be a forced response. But there 
need not be a steady-state response always. There can be a steady-state in the circuit only if three 
conditions are satisfied. 
First, the circuit natural response must be damped and should approach zero as time increases 
without limit. 
Second, there must exist features in the input source function waveform that can be used to define what 
is meant by steady-state at the output (i.e., the meaning of ‘steady-state’ is decided by input waveform. If 
there is nothing about the waveform that can be used to define a meaning for ‘steady-state’, then there is 
no meaning for ‘steady-state’ at the output too). For example, if input is a periodic waveform with period 
of T, switched on to a linear time-invariant circuit at t 
= 
0, then steady-state output is a waveform that is 
periodic with same period – such a steady-state is called periodic steady-state. Sinusoidal steady-state 
is a special case of periodic steady-state. The difference between the two is that the output waveform 
need not have the same waveshape as that of input in the case of a general periodic steady-state, whereas
the output waveform will be of same waveshape as that of input in the case of sinusoidal steady-state.
The third condition is that the input source function must remain applied to the circuit for enough 
time for the circuit to reach steady-state. For example, we may switch on a periodic wave such as a 50 
Hz sine wave to an RC circuit with 0.2 s time constant and switch off after 0.3 s. The circuit transient 
response does not get enough time to decay down to zero and there is no question of the circuit 
reaching sinusoidal steady-state. 
Steady-state response, if steady-state gets established in the circuit, is the same as forced response.