Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

S
in circuits under sinusoidal steady-state condition is defined as 
S
VI
*
(VA)=
W)
VAr)
VA.
v
i
=
+
=
+
∠
−
P
jQ
P
Q
(
(
(
)
2
2
f f
Complex power and its components 
– P and Q – are conserved quantities.

---

Problems 
7.55
• Let v(t) 
=
V
m
cos(
w
 t 
+ 
f
v
) 
=
√
2V
rms
cos(
w
 t 
+ 
f
v
) and i(t) 
=
I
m 
cos(
w
 t 
+ 
f
i
) 
=
√
2I
rms
cos(
w
 t 
+ 
f
i
) be 
the voltage and current as per passive sign convention in a load circuit. Let the series equivalent 
of the load circuit be R
S
+ 
jX
S
and the parallel equivalent of the same circuit be R
P
+ 
jX
P
. Then, the 
following table summarizes the various phasor quantities and their interrelations.
Quantity
Relationship
using peak values
Relationship
using rms values
Unit
Voltage Phasor 
V
V
m
∠
f
v
V
rms
∠
f
v
V
Current Phasor 
I
I
m
∠
f
i
I
rms
∠
f
i
A
Complex Power 
S
0.5V
m
 I
m
cos(
f
v
-
f
i
) 
+ 
j0.5V
m
 I
m 
sin(
f
v
-
f
i
)
V
rms
 I
rms
cos(
f
v
-
f
i
) 
+ 
jV
rms
 I
rms 
sin(
f
v
-
f
i
)
VA
Apparent Power |
S
|
0.5V
m
 I
m
V
rms
 I
rms
VA
Active Power P
0.5V
m
 I
m
cos(
f
v
-
f
i
)
V
rms
 I
rms
cos(
f
v
-
f
i
)
W
Reactive Power Q
0.5V
m
 I
m 
sin(
f
v
-
f
i
)
V
rms
 I
rms 
sin(
f
v
-
f
i
)
VAr
Power Factor PF
cos(
f
v
-
f
i
)
cos(
f
v
-
f
i
)
-
Input Impedance 
Z
(V
m
/I
m
) 
∠
(
f
v
-
f
i
)
(V
rms
/I
rms
) 
∠
(
f
v
-
f
i
)
Ω
R
S
(V
m
/I
m
)cos(
f
v
-
f
i
); or
2P/I
m
2
(V
rms
/I
rms
)cos(
f
v
-
f
i
) or
P/I
rms
2
Ω
X
S
(V
m
/I
m
)sin(
f
v
-
f
i
) or 
2Q/I
m
2
(V
rms
/I
rms
)sin(
f
v
-
f
i
) or Q/I
rms
2
Ω
R
P
V
m
/[I
m
cos(
f
v
-
f
i
)] or 
2P/[I
m 
cos(
f
v
-
f
i
)] 
2
V
rms
/[I
rms
cos(
f
v
-
f
i
)] or 
P/[I
rms 
cos(
f
v
-
f
i
)] 
2
Ω
X
P
V
m
/[I
m
sin(
f
v
-
f
i
)] or 
2Q/[I
m 
sin(
f
v
-
f
i
)] 
2
V
rms
/[I
rms
sin(
f
v
-
f
i
)] or 
Q/[I
rms 
sin(
f
v
-
f
i
)] 
2
Ω
7.12 
problems
1. Express v(t) 
=
5 cos(
w
 t 
- 
45
°
) – 4 sin(
w
 t 
+ 
30
°
) as a single complex exponential function.
2. What should be the values of A, 
w
and 
f
if the signal v(t) 
=
(2
+ 
j3)e 
j(10t 
+ 
0.5
p
)
+ 
Ae 
j(
w
 t 
+ 
f
)
is a real-
valued signal?
3. The current in a particular element in a linear circuit excited by a sinusoidal voltage source
v
S
(t) 
=
10cos(100t
-
60
°
) V is found to be i(t) 
=
0.75sin(100t –15
°
) A. (i) What is the complex 
amplitude of current if v
S
(t) 
=
5 e 
j100t
V? (ii) Explain why you can not determine the complex 
amplitude of current when v
S
(t) 
=
5 e 
j200t
V using this data?
4. Express the following signals as phasors by carrying out the addition in phasor domain. Draw the 
phasor diagrams.
(i) x(t) 
=
10 sin 500 
p
 t 
+ 
5 cos (500 
p
 t 
-
 
p
/5)
(ii) x(t) 
=
7 sin(120 
p
 t 
-
50
°
) 
+ 
cos(120 
p
 t 
+ 
30
°
)
(iii) 
x t
t
t
t
t
( )
cos(
)
cos(
)
sin(
)
cos(
)
=
+
+
−
+
+
7
50
2
50
30
3
50
2
50
4
p
p
p
p
p
°
/

---

7.56
The Sinusoidal Steady-State Response
5. Express the following phasors as time-domain signals after carrying out the required additions in 
phasor domain.
(i) 15
∠-
60
°
+ 
5e 
j
p
/3
(ii) 20
-
j10 
+ 
10
∠-
20
°
(iii) 4e
-
j
p
/12
– 3e 
j
p
/8 
+ 
3
∠-
50
°
6. Let v(t) 
=
V
m
cos
w
 t V and i(t)
=
I
m 
cos(
w
 t
-
f
) A be the voltage and current of an element in a linear 
circuit under sinusoidal steady-state. If the peak value of power pulsation is found to be twice the 
value of average power what must be the value of 
f
 ?
7. Express the angular frequency at which a series RLC circuit excited by a sinusoidal voltage source 
will have the peak of double-frequency power pulsation equal to the average power in terms of 
circuit parameters.
8. The current drawn by a linear load circuit from a sinusoidal voltage source v
S
(t) 
=
V
m
cos
w
 t V 
is seen to be I
m1
cos(
w
1
t –30
°
) A when the angular frequency of voltage source is 
w
1
and I
m2
cos(
w
2
t 
+ 
45
°
) A when it is 
w
2
. Explain why there should exist a value of 
w
between 
w
1
and 
w
2
such that the circuit will draw power at unity power factor at that angular frequency.
9. A resistor R
1
in series with an inductor L is connected in parallel to another resistor R
2
that is in 
series with a capacitor C. (i) What will be the nature of power factor – lag or lead – for very low 
frequency sinusoidal input voltage? (ii) What will be the nature of power factor – lag or lead – for 
very high frequency sinusoidal input voltage? (iii) Will there exist a value of angular frequency at 
which this load will have unity power factor?
10. The current phasor drawn by a load circuit containing two circuit elements from a voltage of 
100
∠
0
°
V rms is 10
∠-
36
°
A. Explain why the load circuit has to be an RL circuit?
11. The power factor of a load circuit containing three circuit elements is found to be unity at 
w
=
100
p
rad/sec. Is it necessary that all the three elements are resistors?
12. The power factor of a load circuit is found to be 0.7 lag at 
w
=
100
p
rad/sec. Is it necessary that 
the power factor is a lag power factor for all values of 
w
? If your answer is no, give an example 
circuit to justify the answer.
13. The ratio of magnitudes of two load impedances is 1:2. If the first one has 0.7 lag power factor, 
what must be the power factor of the second one such that a parallel combination of these two 
loads draws power at unity power factor?
14. The phasor impedance of a multi-element RLC circuit is 3
+ 
j17 
Ω
at 100
p
rad/s. Show that there 
must be at least one resistor and one inductor in the circuit.
15. The phasor impedance of a multi-element passive circuit is –j20 
Ω
at 100
p
rad/s. Show that the 
circuit contains at least one capacitor and that it contains no resistor.
16. The current drawn by a multi-element passive circuit is found to lag the voltage phasor by 90
°
. 
Show that the circuit contains at least one inductor and no resistor.
17. The power factor of a multi-element passive circuit is found to be 0.3 lead at 200 rad/s. It is found 
to be 0.4 lag at 400 rad/s. Show that the circuit contains at least one resistor, capacitor and inductor.
18. The sum of reactive power delivered to 5 elements in a 6-element circuit is –20 kVAr. Show that 
the sixth element is either an independent source or an inductor.
19. The sum of reactive power delivered to 4 elements in a 5-element circuit is 
+ 
10 kVAr and the sum 
of active power delivered to the same 4 elements is 20 kW. Show that the fifth element has to be 
an independent source and find the power factor at which it is delivering power.
20. The sum of reactive power delivered to 4 elements in a 5-element circuit is 
-
10 kVAr and the sum 
of active power delivered to the same 4 elements is 0 kW. Show that the fifth element has to be 
an inductor.

---

Problems 
7.57
21. The sum of complex power delivered to 7 elements in an 8-element circuit is 20
-
j10 VA. Identify 
the nature of the 8
th
element.
22. A voltage source v
S
(t) 
=
325cos100
p
t V delivers power to a load through an impedance 0.5
+ 
j4 
Ω
. The load voltage peak value is seen to be 350 V. Argue with the help of a phasor diagram 
that the load has to be a capacitive one. 
23. Find the equivalent impedance and admittance at 
w
=
100
p
rad/sec for the circuits in 
Fig. 7.12-1.
100 
Ω
100 
Ω
100 
Ω
0.01 mF
1 H
100 
Ω
100 
Ω
0.01 mF
0.01 mF
1 H
1 H
Fig. 7.12-1 
24. A resistor of 200 
Ω
and an inductor of 0.5 H are in series. (i) Find the impedance of the 
combination at 60 Hz in rectangular form and polar form. (ii) Find a parallel RL circuit that has 
same impedance at same frequency. (iii) Find the impedance of the parallel equivalent in step (ii) 
for 50 Hz. Are the impedance values equal for the two circuits at 50 Hz?
25. A resistor of 200 
Ω
and a capacitor of 0.05 mF are in parallel. (i) Find the impedance of the 
combination at 60 Hz in rectangular form and polar form. (ii) Find a series RC circuit that has 
same impedance at same frequency. (iii) Find the impedance of the series equivalent in step (ii) 
for 50 Hz. Are the impedance values equal for the two circuits at 50 Hz?
26. The voltage across an impedance is v(t) 
=
100 sin120
p
t V and the current through it is i(t) 
=
5sin(120
p
t – 60
°
) A. Find the impedance and obtain its series equivalent and parallel equivalent. 
Can these equivalents be used at another frequency?
27. Find the (i) current delivered by each source (ii) the complex power delivered by each source 
and power factor of each source (iii) the voltage of LN with respect to SN (iv) total active and 
reactive power delivered to the three load branches (v) the sum of instantaneous power delivered 
to the three load branches in the circuit shown in Fig. 7.12-2 .