Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

5.4 
compenSatIon theorem
The circuit in Fig. 5.4-1 (a) has a resistor marked as R. Its nominal value is 2
W
. Mesh analysis was 
carried out to find the current in this resistor and the current was found to be 1 A as marked in circuit 
of Fig. 5.4-1 (a).
3.5 A
(a)
5 V
5.5 A
+
–
i
= 1 A
R
2 
Ω
2 
Ω
2 
Ω
2 
Ω
2 
Ω
3.5 A
(b)
5 V
5.5 A
+
–
i
+ 
∆
i
R + 
∆
R
2 
Ω
2 
Ω
2 
Ω
2 
Ω
Fig. 5.4-1 
Circuit to illustrate Compensation Theorem
Now assume that the resistor value changes by 
D
R to R
+ D
R. Correspondingly, all circuit variables 
change by small quantities. The current through that resistor will also change to i
+ D
i. We can conduct 

---

5.20
Circuit Theorems
a mesh analysis again and get the new solution. However, we can do better than that. We can work 
out changes in variables everywhere by solving a single-source circuit and then construct the circuit 
solution by adding change to the initial solution value.
We apply Substitution Theorem on the first circuit with R as the element that is being substituted 
and on the second circuit with R
+ D
R as the part that is being substituted by an independent voltage 
source. The voltage source in the first circuit must be Ri V and the voltage source in the second circuit 
must be (R
+ D
R)(i
+ D
i) V.
(
)(
)
(
)
R
R i
i
Ri
R
R i i R
+
+
=
+
+
+
∆
∆
∆ ∆
∆
.
See Fig. 5.4-2.
3.5 A
5 V
5 V
5.5 A
3.5 A
5.5 A
+
+
+
–
–
–
+
–
+
–
+
–
Ri
i
∆
R 
(
R + 
∆
R
)
∆
i
Ri
2 
Ω
2 
Ω
2 
Ω
2 
Ω
2 
Ω
2 
Ω
2 
Ω
(2 V)
2 
Ω
Fig. 5.4-2 
Circuits after applying Substitution Theorem
Now we solve the second circuit by applying superposition principle by taking the 5V and Ri V 
sources along with the two current sources together first and deactivating the remaining two voltage 
sources. The solution we get will be the same as the solution of the original circuit since the second 
circuit with the i
D
R V source and the (R
+ D
R)
D
i V source deactivated is the same as the first circuit. 
We already know the solution. It is the initial solution. 
We have to solve the circuit with the two sources – the i
D
R V source and the (R
+ D
R)
D
i V source – to 
get the second component of complete solution for second circuit. This circuit is shown in Fig. 5.4-3 (a).
The solution of this circuit must give the changes in all circuit variables due the change in R since the 
initial values of variables are given by the solution contributed by the other sources. Therefore, the 
current through central branch in the circuit of Fig. 5.4-3 (a) must be 
D
i.
+
+
–
–
(
R 
+ 
∆
R
)
∆
i
2 
Ω
2 
Ω
2 
Ω
2 
Ω
(a)
∆
i
∆
R
i
+
–
(
R 
+ 
∆
R
)
2 
Ω
2 
Ω
2 
Ω
2 
Ω
(b)
∆
i
∆
R
i
Fig. 5.4-3 
(a) Circuit for obtaining changes in variables (b) After replacing 
voltage source by resistor
We note that the voltage of the voltage source (R
+ D
R)
D
i in circuit of Fig. 5.4-3 (a) is exactly the 
same as the voltage drop that will be produced by a resistor of value (R
+ D
R) since the current in 
that branch is 
D
i. That is, the voltage source of value (R
+ D
R)
D
i can be thought of as the result of a 
substitution operation on a resistor of value (R
+ D
R) in that path. We reverse this substitution and 

---

Thevenin’s Theorem and Norton’s Theorem 
5.21
replace the voltage source by the resistor in circuit of Fig. 5.4-3 (b). Solving circuit in (b) will give us 
the change in all circuit variables due to a change in R. Adding the initial values to change values will 
give us the final solution. The circuit in Fig. 5.4-3 (b) is a single-source circuit with only one voltage 
source of value 
=
(change in component value)
× 
(initial current through that component).
Let us assume that 
D
R 
=
0.1
W
. Then the source value is 0.1
W × 
1A 
=
0.1 V. Therefore,
∆
i
= −
+ +
+
= −
0 1
2 1
2 2
2 2
0 0244
.
.
(
) / /(
)
.
A and (i
+ D
i) 
=
0.9756 A.
Reader may note that we used Superposition Theorem along with Substitution Theorem to arrive at 
this result. Hence Compensation Theorem is a specialised form of Substitution Theorem for a Linear 
Circuit.
Compensation Theorem
In a linear memoryless circuit, the change in circuit variables due to change in one 
resistor value from 
R
to 
R 
+ D
R
in the circuit can be obtained by solving a single-source 
circuit analysis problem with an independent voltage source of value 
i
D
R
in series with 
R 
+ D
R
where 
i
is the current flowing through the resistor before its value changed. See 
Fig. 5.4-4.
Linear memoryless 
circuit with many 
independent and 
dependent sources
+
–
R
R + 
∆
R
(a)
i
i + 
∆
i
Linear memoryless 
circuit with all
independent sources
deactivated
i
∆
R 
V
(b)
∆
i
R + 
∆
R
Fig. 5.4-4 
The Compensation Theorem
The theorem can be extended to include dependent sources too. Changes in circuit variables 
due to simultaneous changes in many circuit parameters can be obtained by repeated application of 
Compensation Theorem or as a solution of a multi-source change circuit in which each parameter 
change is taken into account by a voltage source of suitable value.