Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

10.8 
SerIeS 
RL
 cIrcuIt wIth exponentIal InputS
We take up the study of zero-state response of series RL circuit for exponential inputs and sinusoidal 
inputs in this section. We do not worry about the zero-input response anymore since we know that it is 
I
0
e
-
t/
t
where I
0
is the initial current specified at t 
= 
0
-
. The total response is found by adding zero-input 
response and zero-state response together.
We permit exponential inputs of the form e
st
u(t) in this section where s can be a complex number 
s 
= -
s
 
+ 
j
w
where 
s
and 
w
are two real numbers. The reason for generalising the exponential input 
in this manner will be clear soon. We put a -ve sign behind 
s
since we want the real part of s to be 
negative when 
s
is positive. This signal is a complex signal with a real part function and imaginary 
part function as shown in Eqn. 10.8-1. 
v t
e u t
e
u t
e
t u t
j e
t u
st
j
t
t
t
s
( )
( )
( )
(
cos
) ( )
(
sin
) (
(
)
=
=
=
+
− +
−
−
s
w
s
s
w
w
tt
)
(10.8-1)
We have used Euler’s identity in expressing complex exponential function in the rectangular form 
involving trigonometric functions. No signal like this can be actually generated by a physical system 
since there can be nothing ‘imaginary’ about a physical signal. Therefore, this signal does not represent 
a physical signal and hence it cannot really be applied to any circuit. But it can be the forcing function 
in a differential equation – the mathematics of differential equation will not complain. Moreover, its 
real part and imaginary part are real functions only and can be made physically.
We know that zero-state response of a linear circuit obeys superposition principle. Let us apply a 
signal x(t) to the circuit and let the zero-state response be i
x
(t). Similarly let the zero-state response be 
i
y
(t) when a signal y(t) is applied to the same circuit. Now, what is the response when jy(t) is applied 
where j 
= √-
1 ? By superposition principle it will be ji
y
(t). When we apply x(t) 
+ 
jy(t) as input we must 
get i
x
(t) 
+ 
ji
y
(t) as response by superposition principle again. 
The real part of zero-state response for a complex signal input is the zero-state 
response for the real part of input and the imaginary part of zero-state response for a 
complex signal input is the zero-state response for the imaginary part of input. This is a 
direct consequence of linearity of the circuit.
Now we can see why we opted for this complex signal. We can obtain the zero-state response of 
circuits to sinusoidal inputs by taking the real or imaginary part of zero-state response for complex 
exponential inputs with 
s
 
= 
0. It is easier to deal with complex exponential function than with sinusoids 
when it comes to solving differential equations. Let us solve for the zero-state response of series RL 
circuit with a complex exponential input.
di t
dt
i t
L
e u t
L
L
st
( )
( )
( )
+
=
t
1
(10.8-2)
This equation has to be true for all t and in particular for all t 
≥
0
+
.
This is possible only if the shape of 
functions on both sides of the equation is the same. This will imply that the trial solution for particular 
integral has to be Ae
st
. Substituting this trial solution in the differential equation in Eqn. 10.8-2,
Ae s
L e
t
A
s L L
s L R
L R
i t
s t
st
(
/ )
(
)
(
)
( )
+
=
≥
∴ =
+
=
+
=
∴
+
1
1
0
1
1
t
t
t
/
for 
/
/
L
∵
==
+
≥
+
1
0
s L R
e
t
st
for
(10.8-3)

---

10.44
First-Order 
RL
Circuits
We have to form the total solution by adding this particular integral to complementary solution. Note 
that finding zero-state response involves finding a particular integral and a suitable complementary 
function also – because zero-state response involves both forced response and natural response terms.
∴
=
+
+
≥
−
+
i t
B e
s L R
e
t
t
st
L
for
( )
/
t
1
0
Substituting initial current value at 0
0
1
1
+
= +
+
∴ = −
+
,
B
s L R
B
s L R
R
i t
s L R
e
e
t
s t
t
and
) for
L
( )
(
/
=
+
−
≥
−
+
1
0
t
(10.8-4)