Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

10.1.3 
Sufficiency of Initial condition
We defined three important time instants – t 
= 
0, 0
-
and 0
+
.
We also concluded that, with the initial 
condition for i
L
specified and with the knowledge of v
S
from the instant at which the initial condition 

---

The Series 
RL
Circuit 
10.5
is specified, we will be able to solve the differential equation for i
L
. But, which instant among the three 
instants above should be used for specifying initial condition?
The three time instants have been defined only to make it easy to handle possible discontinuities in 
the input function v
S
. If the source function v
S
is a continuous function of t we do not need t 
= 
0
-
and 
t 
= 
0
+
.
In that case, initial condition is specified at t 
= 
0. However, if v
S
has a discontinuity or singularity 
(for example, a jump discontinuity as in step function or an impulse located at t 
= 
0) at t 
= 
0, it is 
possible that either i
L
or its derivative will undergo step changes at t 
= 
0. Therefore, the time instant at 
which the initial condition is applicable must be clearly specified. That instant has to be t 
= 
0
-
. Since it 
will not make any difference in the case where v
S
is a continuous function, we will stipulate that initial 
condition be always be specified at t 
= 
0
-
.
The initial current in the inductor at t 
= 
0
+ 
can be different from its value specified at t 
= 
0
-
for certain kinds of input functions. We will illustrate how the initial condition value at 0
+ 
can be 
calculated from initial condition value at 0
-
and nature of v
S
later in this chapter. We have to address 
another issue at present.
We now assert that i
L
(t) for t 
≥
 0
+ 
can be obtained if initial condition I
0
at t 
= 
0
-
is known and v
S
(t) 
for t 
≥
 0
+ 
is known. This is equivalent to asserting that the net effect of all the voltage applied across 
the inductor in the time range 
-∞
 < t 
≤
 0
-
on the evolution of its current in the time range t 
≥
 0
+ 
is 
encoded in a single number I
0
, the initial condition at t 
= 
0
-
.This in effect says that the past which the 
inductor remembers is contained in I
0
. 
They are strong assertions and they need to be proved. We offer a plausibility reasoning to convince 
ourselves that these assertions are true. We assume that the function v
S
(t) is continuous at t 
= 
0 in the 
reasoning that follows.
We recast the circuit equations of the series RL circuit in Fig. 10.1-1 in the following manner:
v t
v t
v t
t
i e v t
v t
Ri
L
S
R
L
S
R
for all (from KVL)
( )
( )
( )
. .
( )
( )
(
=
−
=
−
tt
t
i e v t
v t
Ri t
i t
i t
i
)
. .
( )
( )
( )
( )
( ) )
.
for all 
(Since 
L
S
L
L
R
=
−
=
ee v t
v t
R
L
v t dt
t
t
.
( )
( )
( )
L
S
L
for all (from element equati
=
−
−∞
∫
oon of inductor)
Further, we rewrite the last equation by splitting the range of integration into two sub-ranges as 
follows. Notice the change in time-range of applicability.
v t
v t
R
L
v t dt
R
L
v t dt
t
t
L
S
L
L
for 
( )
( )
( )
( )
=
−
−
≥
−∞
∫
∫
0
0
0
We recognise the second term on the right-hand side as (R/L)I
0
where I
0
is the initial condition for 
the inductor.Therefore, we write 
v t
v t
R
L
v t dt
R
L
I
t
t
L
S
L
for 
( )
( )
( )
=
−
−
≥
∫
0
0
0
(10.1-1)
It is obvious from Eqn. 10.1-1 that the solution for v
L
(t) for t 
≥
0 will depend only on I
0 
and the 
values of v
S
for t 
≥
0. A simple method to integrate the equation numerically is outlined below.
Divide the time interval [0, t] into many small intervals, each of width 
D
t. Let N be the number of 
such intervals. Then 

---

10.6
First-Order 
RL
Circuits
v
v
R
L
I
v n t
v n t
R
L
v
n
t
R
L
I
n
N
L
S
L
S
L
( )
( )
(
)
(
)
((
) )
,
,
,
0
0
1
1
0
0
=
−
=
−
−
−
=
∆
∆
∆
gives N
+ 
1 values of v
L
(t) in the interval [0, t] at equally spaced sub-intervals. The accuracy of 
calculation can be improved by increasing the number of sub intervals (i.e., by decreasing 
D
t). i
L
(t) 
can be found by evaluating the first derivative of v
L
(t) and multiplying it by L once v
L
(t) is calculated 
with sufficient accuracy.
Thus, I
0
 specified at some time point and v
S
(t) from that time point will be sufficient data needed to 
solve for inductor current in an RL circuit from that time point onwards.