Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

10.1.2 
need for Initial condition Specification
The differential equation derived above describes the variation of the inductor current for all t in the 
time-domain. It is so because we have used KCL and KVL in deriving it and these two laws hold at all 
time instants. Does it mean that we will be able to solve for i
L
(t) for all t – from infinite past to infinite 
future? Yes, provided we know the function v
S
(t) for the entire time range 
-∞
< t < 
∞
. That is going 
to be a problem!
Do we really have to get back as far as 
-∞
in the time axis? Not really. We need to get back to the 
time instant at which our inductor was manufactured. It is indeed difficult to manufacture an inductor 
such that it takes birth with some initial energy trapped in it! Therefore, we may safely assume that 
the inductor had zero initial energy and hence zero initial current (energy storage in an inductor is 
proportional to square of current flowing through it) when it was manufactured. In fact, when we talk 
of infinite past, we have this time instant in mind. Therefore, we can be sure that the inductor had zero 
current in it in the infinite past i.e., at t 
= -∞
. Now, if we know v
S
(t) from that instant onwards up to the 
present instant, we will be able to solve for i
L
(t) from t 
= -∞
to the present instant by integrating the 
governing differential equation.But didn’t we assume that the inductor was connected along with the 
resistor and source right at the instant it was manufactured and it remained connected so from then on?
We cannot assume any such thing. Therefore, we must know whatever that happened to the inductor 
from the instant it was manufactured to the instant it was connected in this circuit we are trying to 

---

10.4
First-Order 
RL
Circuits
solve, if we are to solve this circuit at all. This is due to the fact that the function v
S
(t) can at best be 
known only from the instant at which this circuit came into existence and the inductor may have been 
subjected to various voltages in various other circuits before this circuit was wired up. In that case, the 
inductor will be carrying a current 
I
L
v dt
t
create
0
1
=
−∞
∫
L
where 
-∞
refers to the instant of manufacturing of the inductor and t
create
refers to the instant at 
which the RL circuit under discussion came into being. The voltage v
L
(t) in the above integral refers 
to all the voltage that was applied to the inductor during this time interval. Thus, the inductor carries 
its accumulated past in the form of an initial current I
0
given by the above integral when it enters the 
RL circuit we are trying to analyse. Notice that the voltage appearing in the integrand has no relation 
with the source that is applied subsequently to the RL circuit. 
Briefly, we need to know the past of inductor. However, fortunately we need not know everything 
about its past – we need only the value of the above integral. We will be able to solve for i
L
(t) for all 
instants after t
create
if we know the value of I
0
along with v
S
(t) from the instant it was applied, i.e., from 
t
create
. Obviously, we need to know everything about its past if we want to solve for i
L
(t) from t 
= -∞
onwards. That is too much of a past to carry. Therefore, we would want to solve for i
L
(t) only for 
t 
≥
t
create
usually. We need the value of I
0
, the initial current in the inductor at an instant just prior to 
t
create
for that. This single number condenses all the past history of inductor as far as the effect of 
voltages applied to it in the past on the evolution of its current in future is concerned. This number is 
called the initial condition for the inductor.
The time instant t
create 
is to be understood as the instant from which we know the data required for 
solving the differential equation. That is the time instant at which the initial condition is specified for 
the inductor and it is the time instant from which we have complete knowledge about the input source 
voltage. Moreover, it is the time instant from which the inductor should act as an element in this circuit 
and only in this circuit. It is customary in Circuit Theory to set this instant as the time-zero instant, i.e., 
t
create
= 
0 unless there is some specific reason for making it different. 
Usually, some kind of switching action takes place in the circuit at this instant. It could be a 
switching that applies a specific voltage waveform at its input. Or, it could be a switching operation 
which changes the structure of the circuit – for example, one element in the circuit may have been 
kept shorted by closing a switch across it and now at t 
= 
0 that switch is opened. Such switching action 
usually brings in jump discontinuities in circuit variables. Jump discontinuities in variables involved 
in differential equations are difficult to handle mathematically unless singularity functions are brought 
in. We do not want to do that in this book. Our way of handling such discontinuities in circuit variables 
will be circuit-theoretic and we need to define two more time instants to facilitate our circuit-theoretic 
reasoning in such situations. These two time instants are t 
= 
0
-
and t 
= 
0
+
.
t 
= 
0
-
is a time instant which 
is to the left of t
= 
0 in the time axis. However, the time interval [0
-
, 0] is of infinitesimal width, i.e., 
0
-
is arbitrarily close to 0, but always less than 0. Similarly, 0
+ 
is on the right of 0 and is arbitrarily 
close to 0. Thus, 0
-
< 0 < 0
+ 
while 0 
- 
0
-
≈
0 and 0
+ 
- 
0 
≈
0.