Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

example: 13.12-1
Obtain the pole-zero plots for (i) 
H s
s
( )
=
+
a
a
(ii) 
H s
s
s
( )
=
+
a
(iii) 
H s
s
s
( )
=
−
+
a
a
for positive and 
negative values of 
a
and sketch the impulse response for 
a
= ±
1.
Solution
These are standard first-order network functions. They are stable ones for positive values of 
a
and 
unstable ones for negative values of 
a
. They are important, yet simple, functions.
(i)
H s
s
( )
=
+
a
a
. Therefore, 
h
(
t
) 
= 
a
e
-
a
 
t
u
(
t
). The pole-zero plot and impulse response are shown 
in Fig. 13.12-1 for 
a
= ±
1.
1
Re(
s
)
Im(
s
)
h
(
t
)
Time (s)
1
0.5
1
2
= 1
α
4
Re(
s
)
Im(
s
)
–h
(
t
)
Time (s)
1
2
1
2
= –1
α
x
(1, 0)
x
(–1, 0)
Fig. 13.12-1 
Pole-zero plot and impulse response for 
a
= ±
1
(ii) 
H s
s
s
s
h t
t
e u t
t
( )
( )
( )
( )
=
+
= −
+
∴
=
−
−
a
a
a
d
a
a
1
The pole-zero plots and impulse responses for 
a
= ±
1 are shown in Fig. 13.12-2.
4
x
(1, 0)
Re(
s
)
Im(
s
)
h
(
t
)
Time (s)
1
2
1
2
= –1
α
Re(
s
)
Im(
s
)
h
(
t
)
Time (
s
)
–1
1
1
1
2
= 1
α
x
(–1, 0)
Fig. 13.12-2 
Pole-zero plot and impulse response for 
a
= ±
1

---

13.52
Analysis of Dynamic Circuits by Laplace Transforms
(iii) 
H s
s
s
s
h t
t
e u t
t
( )
( )
( )
( )
=
−
+
= −
+
∴
=
−
−
a
a
a
a
d
a
a
1
2
2
. The pole-zero plots and impulse responses are shown in Fig. 13.12-3.
4
x
(1, 0)
(–1, 0)
Re(
s
)
Im(
s
)
h
(
t
)
Time (s)
1
2
1
2
= –1
α
x
(–1, 0) (1, 0)
Re(
s
)
Im(
s
)
h
(
t
)
Time (
s
)
–2
1
1
2
= 1
α
Fig. 13.12-3 
Pole-zero plot and impulse response for 
a
= ±
1
example: 13.12-2
A second-order low-pass network function in standard form is given as 
H s
s
n
n
n
( )
=
+
+
w
xw
w
2
2
2
2
where 
x
is the damping factor and 
w
n
is the undamped natural frequency as defined in Section 11.6 in 
Chapter 11. Obtain expressions for impulse response of the network function for positive and negative 
values of 
x
 
in the range –1<
x
 
<1.
Solution
The poles are at 
s
j
n
n
= −
±
−
xw
x w
1
2
. They are complex conjugate poles for –1<
x
<1. They are 
located in the right-half 
s
-plane for 
-
1<
x
<0 and in the left-half 
s
-plane for 0<
x
<1. They are located on 
j
w
-axis at 
±
j
w
n
when 
x
= 
0. The poles have a magnitude of 
w
n 
for all values of 
x
in the range (
-
1,1). 
The pole line of the pole 
s
j
n
n
= −
+
−
xw
x w
1
2
makes an angle of cos
-
1
(
x
) with negative real axis 
in the case of positive 
x
and with positive real axis in the case of negative 
x
. Thus the damping factor 
magnitude is given by cosine of pole angle. See Fig. 13.12-4.
j
x
x
ω
σ
n
ω
–
n
ω
ξ
j
1 – 
n
2
ω
ξ
1 – 
n
2
ω
ξ
j
x
A
B x
ω
σ
–
n
ω
ξ
j
j
x
A
B x
ω
σ
–
n
ω
ξ
1 – 
n
2
ω
ξ
j
1 – 
n
2
ω
ξ
j
1 – 
n
2
ω
ξ
j
1 – 
n
2
ω
ξ
j
Fig. 13.12-4 
Pole-zero plots for a standard second-order low-pass network function with 
positive damping
The residue at the pole marked as 
B
is given by 
w
n
2
divided by the complex number represented by 
the line connecting 
A
and 
B
in Fig. 13.12-4 with arrow towards 
B
. This line is seen to be 
2 1
2
(
)
-
x w
n

---

Sinusoidal Steady-State Frequency Response from Pole-Zero Plots 
13.53
in length and it makes –90
°
with positive real axis. Similarly, the residue at the pole marked as 
B
is 
given by 
w
n
2
divided by the complex number represented by the line connecting 
A
and 
B
in Fig. 13.12-4 
with arrow towards 
B
. This line is seen to be 
2 1
2
(
)
-
x w
n
in length and it makes 90
°
with positive 
real axis.
Therefore,
h t
e
e
e
e
n
n
j
j
t
j
j
t
n
n
( )
(
)
=
−
+

− +
−
(
)
−
− −
−
(
)
w
x w
x
x w
x
x w
2
2
90
1
90
1
2 1
0
2
0
2





=
−
+


−
−
+
−
−
+
u t
e
e
e
n
t
j
t
j
t
n
n
( )
(
)
(
)
(
)
w
x
x
x w
x w
2 1
2
1
90
1
90
2
0
2
0



=
−
−
+
=
−
−
−
−
−
u t
e
t
u t
e
n
t
n
n
t
( )
cos(
) ( )
sin
w
x
x w
w
x
x
x
x
1
1
90
1
1
2
2
0
2
22
w
n
t u t
( )
This response is shown in Fig. 13.12-5 for 
w
n
= 
1 and 
x
= 
0.7, 0.3, 0.1 and 0.05.
We observe that as the poles get closer and closer to 
j
w
-axis, the impulse response oscillations 
become more and more under-damped and last for many cycles.
The impulse response for 
x
= -
0.05 in Fig. 13.12-6 shows the unbounded nature of impulse 
response of a network function with poles on right-half 
s
-plane.
13.13 
sInusoIdal steady-state frequency response from pole-Zero plots
Let 
H s
K
s z s z
s z
s p s p
s p
m
m
( )
(
)(
) (
)
(
)(
) (
)
=
−
−
−
−
−
−
1
2
1
2
be a network function defined in a linear time-invariant 
circuit and let all the poles of this network function be in the left-half of 
s
-plane excluding 
j
w
-axis. 
The zeros can be located anywhere in 
s
-plane. We know that 
H
(
s
), the network function, is a 
complex 
gain
if we 
evaluate
it at a particular value of 
s
. In that case, it gives the complex amplitude of the 
forced response with an input of 
e
st
with the value of 
s
same as the value at which 
H
(
s
) was evaluated. 
Sinusoidal steady-state frequency response function of a stable circuit is given by the complex gain 
Fig. 13.12-5 
Impulse response of 
standard second-order 
network function for 
various damping factors
–0.5
= 0.7
0.5
Time (
s
)
h
(
t
)
0
5
10 20
ξ
= 0.05
ξ
= 0.1
ξ
= 0.3
ξ
Fig. 13.12-6 
Impulse response of 
standard second-
order network 
function for 
x
= -
0.05
h
(
t
)
 
Time
 
(
s
)
–2
–4
4
2
5
10 15 20

---

13.54
Analysis of Dynamic Circuits by Laplace Transforms
offered by the circuit to 
e
j
w
t
signal. Therefore, 
H
(
s
) 
evaluated
with 
s 
= 
j
w
gives the frequency response 
function provided the network function is stable. Thus,
H j
K
j
z
j
z
j
z
j
p
j
p
j
p
m
m
(
)
(
)(
) (
)
(
)(
) (
)
w
w
w
w
w
w
w
=
−
−
−
−
−
−
1
2
1
2
(13.13-1) 
H
(
j
w
) is a complex function of a real variable 
w
. The plots of |
H
(
j
w
)| versus 
w
and 
∠
H
(
j
w
) versus 
w
yield the 
frequency response plots
of the network function. The first is called the 
magnitude plot
and 
the second is called the 
phase plot
.
13.13.1 
three Interpretations for 
H
(
j
v
)
We saw that we can interpret the network function 
H
(
s
) in three ways in Section 13.11. Three 
interpretations of 
H
(
j
w
) follow from this. 
(i)
H
(
j
w
) is the ratio of complex amplitudes of output complex exponential and input complex 
exponential when input complex exponential is of the form 
Ae
j
w
t
. Equivalently, 
H
(
j
w
) is the 
complex amplitude of output when input is 
e
j
w
t
(not 
e
j
w
t
u
(
t
)). The signal 
e
-
j
w
t
is a signal that is 
different from 
e
j
w
t
. Hence, 
H
(
j
w
) is a 
two-sided
function from this point of view.
If input is 
e
j
w
t
u
(
t
), then, 
H
(
j
w
) 
e
j
w
t
gives the forced response component (same as the 
steady-state response component).
(ii)
H
(
j
w
) is the ratio of Laplace transform of zero-state response to Laplace transform of input 
when input is of the form 
Ae
j
w
t
u
(
t
). The signal 
Ae
-
j
w
t
u
(
t
) is not the same as 
Ae
j
w
t
u
(
t
). Hence, 
H
(
j
w
) is a 
two-sided
function from this point of view too.
(iii)
H
(
j
w
) is the expansion of the impulse response 
h
(
t
) of the circuit in terms of complex 
exponential signals drawn from 
j
w
axis in 
s
-plane. It expands the time-domain signal into the 
sum of complex exponential functions of 
e
j
w
t
type (
i.e.,
essentially in terms of sinusoids) with 
w
value ranging from 
-∞
to 
∞
. Hence, 
H
(
j
w
) is a 
two-sided
function from this point of view too.
There are two ways to solve the problem of finding the 
steady-state output
when input variable 
is cos
w
o
t
u
(
t
). The first method is to express cos
w
o
t
u
(
t
) as Re(
e
j
t
o
w
)
u
(
t
) and express the output as 
Re[
H j
e
o
j
t
o
(
)
w
w
]
u
(
t
). This method was called 
Phasor
Method
in Chapter 8. This method results in 
the steady-state response component and is based on the first interpretation of 
H
(
j
w
). 
Re[ (
)
] Re[| (
) |
] | (
) | cos[
(
)
H j
e
H j
e
e
H j
t
o
j
t
o
H j
j t
o
o
o
o
w
w
w
w
w
w
w
=
=
+ ∠
∠
H
H j
o
(
)]
w
. Now, there is no 
harm if 
H
(
j
w
) is thought of as a 
single-sided function of 
w
provided we interpret the magnitude of 
H
(
j
w
) as the amplitude of output sinusoidal waveform with input amplitude of 1 and the phase of 
H
(
j
w
) 
as the phase angle by which the output sinusoidal waveform leads the input sinusoidal waveform.
The second way is to express cos
w
t
u
(
t
) as 0.5
e
j
w
t
u
(
t
) 
+ 
0.5
e
-
j
w
t
u
(
t
) by applying Euler’s 
formula and express the 
steady-state output
as 
0 5
. [ (
)
(
)
]
H j
e
H
j
e
o
j
t
o
j
t
o
o
w
w
w
w
+
−
−
.We 
have seen in Chapter 7 that
H
j
H j
(
) [ (
)]
*
−
=
w
w
.Therefore the steady-state output will be 
Re[ (
)]cos
Im[ (
)]sin
| (
) | cos[
(
)]
H j
t
H j
t
H j
t
H j
o
o
o
o
o
o
o
w
w
w
w
w
w
w
−
=
+ ∠
; same as in the first 
method. This method also is based on the first interpretation of 
H
(
j
w
) but uses a two-sided version of 
H
(
j
w
).
Frequency response function is not new to us. We had dealt with the frequency response of first-order
circuits and second order circuits in detail earlier in the book. But the observation that 
H
(
j
w
) can be 
evaluated by evaluating 
H
(
s
) on 
j
w
-axis leads to a graphical interpretation for sinusoidal steady-state 
frequency response function based on the pole-zero plot of 
H
(
s
). This interpretation affords an insight 
into the variation of magnitude and phase of 
H
(
j
w
) without evaluating it at all values of 
w
. It helps us 
to visualise the salient features of frequency response function without extensive calculations.

---

Sinusoidal Steady-State Frequency Response from Pole-Zero Plots 
13.55