Chiziqning buralishi xaqida tushuncha. Chiziqning buralishi uchun formula

Chiziqning buralishi
Reja:

1. 
   Chiziqning buralishi xaqida tushuncha.
   
2. 
   Chiziqning buralishi uchun formula.
   
3. 
   Ixtiyoriy parametrli tenglamalar bo`yicha buralishni xisoblash.
   

1.  эгри chiziq va unda yotuvchi Р nuqta berilgan bo`lsin. Egri chiziqda Р nuktaga yaqin Q nuqtani olamiz. Р va Q nuqtalarda yopishma tekisliklar o`tkazamiz. Yopishma tekisliklar orasidagi burchakni  bilan va РQ yoy uzunligini |s| bilan belgilaymiz.
Ta‘rif. Egri chiziq bo`ylab QР да /|s| nisbat intilgan limit egri chiziqning R nuqtasidagi absolyut buralish deyiladi va || ko`rinishda belgilanadi.
ТЕОРЕМА. Regulyar (uch marta uzluksiz differentsiallanuvchi) egri chiziq o`zining egriligi 0 dan farqli bo`lgan xar bir nuqtasida aniq absolyut buralishga ega. Agar r=r(s) egri chiziqning tabiiy parametrlangan tenglamasi bo`lsa absolyut buralish
||=|r'r"r"'|/k<sup>2</sup>
formula bilan xisoblanadi.
ISBOT. Agar egri chiziqning Р nuqtasida egriligi 0 dan farqli bo`lsa, uning uzluksiz ekanligidan unga yaqin nuqtalarda xam egrilikning 0 dan farqli ekani kelib chiqadi. Egrilik 0 dan farqli bo`lgan nuqtalarning xar birida r'(s) va r"(s) vektorlar 0 dan farqli va o`zaro // emas. Shuning uchun Р ga yaqin bo`lgan nuqtalarning xar birida yopishma tekislik mavjuddir.
(s) va (s+s) vektorlar Р va Q nuqtalardagi binormallarning birlik vektorlaridan iborat bo`lib, ular orasidagi burchak  га тенг. Shuning uchun yukorida ko`rib o`tganimizdek
|(s+s)-(s)|=2sin(/2)
bo`ladi.
Bundan

Oxirgi tenglik |s|0 da limitga o`tib,
||=|'| (1)
ni topamiz. ' vektor  va  vektorlarga  dir. Xaqiqatan xam  birlik vektor bo`lgani uchun ' bo`ladi. Shuningdek =[,] tenglikni differentsiallab, '=[',]+[,']=[,] ni topamiz. Bundan ' kelib chiqadi. Demak, ' vektor  vektor bilan kollinear ekan. Shu sababli (1) tenglikni ||=|'| ko`rinishda yozib olamiz. Bu tenglikka ' va  larning ma‘lum ifodalarini qo`yib ushbu natijalarni olamiz, yani
||=|[,']|=|(',,)|=|(r' 1/k r"' 1/k r")|=|(r'r"r"')|/k<sup>2</sup> (2)
Bu tenglik teoremani isbotlaydi.
Agar egri chiziq tenglamasi r=r(t) ko`rinishdagi ixtiyoriy t parametr orqali berilgan bo`lsa, egri chiziqning buralishi
=(r'r"r"')/[r'r"] (3)
formula bilan xisoblanadi.
Xaqiqatan xam quyidagilarni topa olamiz, yani
r'<sub>s</sub>=r't', r"<sub>ss</sub>=r"t'<sup>2</sup>+r't"
r"'<sub>sss</sub>=r"'t'<sup>3</sup>+2r"t't"+r"t't"+r't"'
Bu qiymatlarni (2) tenglikda o`rniga ê¢éib, t'²=1/r'² ekanini eotiborga olsak, isbot qilinishi kerak bo`lgan (3) formulani olamiz. Endi xar bir nuqtasidagi buralishi 0 ga teng bo`lgan chiziqlarni topaylik.
Ma‘lumki, x='=0. Bundan tashqari '=0 ва '=0 ekanidan '=0 ni topamiz. Bundan =₀=соnst ekani kelib chiqadi.
Bizga ma‘lumki  va  vektorlar o`zaro perpendikulyardir. Shuning uchun r'<sub>0</sub>=0 bo`ladi. Demak, (r(s)-r₀)₀=0. Bu esa (r-r₀)₀=0 vektor tenglama bilan berilgan egir chiziqni tekislikda yotishini ko`rsatadi.
Shunday qilib, buralish 0 ga teng bo`lgan barcha egri chiziqlar tekis egri chiziqlardan iboratdir.
Endi buralishning ishorasini topamiz. Egri chiziq bo`ylab yopishma tekislik s ning o`sish yo`nalishida xarakatlanganda urinma atrofida buralishi kelib chiqadi. Shuning uchun buralishni х=|x|ko`rinishda aniqlaymiz. Bunda agar buralish  dan  ga qarab o`zgarsa ishora "+" va agar buralish  dan  ga xarab o`zgarsa ishora "-" olinadi.
xar bir nuqtasidagi buralishi o`zgarmas bo`lgan chiziqlarga misol sifatida vint chizig`ini keltirish mumkin.
Adabiyotlar

1. 
   Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.,Наука,1990.
   
2. 
   Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. Университет, 2003
   
3. 
   Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.,1974.
   
4. 
   Нарманов А.Я. ва бошқалар. Умумий топологиядан машқ ва масалалар тўплами. Т.Университет, 1996.
   
5. 
   Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979.
   

6. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию в целом. М., Наука, 1973.
7. Собиров М.А., Юсупов А.Е. Дифференциал геометрия курси. Т., Ўқитувчи, 1965.
8. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.,изд. МГУ,1980
9. Архангельский П.С, Пономарев В.И. Общая топология в задачах и упражнениях. М. Наука, 1974.
10.www.a-geometry.narod.ru