Chiziqli tenglamalarning kichik boshqa yechimlari II kvok-kvong stiven choi, ming-chit liu va kai-man tsang

CHIZIQLI TENGLAMALARNING KICHIK BOShQA YECHIMLARI II
KVOK-KVONG Stiven CHOI, MING-CHIT LIU VA KAI-MAN TSANG
1.Kirish
Hardi va Litlvud o'zlarining mashhur "Partitio Numerorum" turkumidagi maqolalarida [3] Umumlashtirilgan Rieman gipotezasiga (GRH) ko'ra, har bir etarlicha katta toq natural sonlar n 3 ta toq tub sonlarning yig'indisi ekanligini isbotladilar, ya'ni. , agar n>n0 toq bo'lsa, tenglama
(1.1) n = p1 + p2 + p3
p1,p2,p3 toq tub sonlarda eriydi. Keyinchalik 1937 yilda I.M.Vinogradov bu natijani GRHni qabul qilmasdan isbotlay oldi. A. Beyker [1,Lemma 6] tomonidan ko'rib chiqilgan diofant muammosi bilan boshlangan, oxirgi ikki muallif (1.1) ning o'ng tomonidagi har bir atama uchun koeffitsientlarni kiritish orqali keyingi qadamni qo'ydi va tenglamani ko'rib chiqing.
(1.2) b = a1p1 + a2p2 + a3p3;
bu yerda a1,a2,a3 nolga teng bo'lmagan butun sonlar qanoatlantiradi
(1.3) (a1, a2, a3) = 1
va b har qanday qoniqtiruvchi butun son
(1.4) (b; a_i; a_j) = 1 uchun 1 < i < j < 3
va
(1.5) b = a1 + a2 + a3 (mod 2):
Bu erda (1.3) dan (1.5) (1.2) ning mos eruvchanligining odatiy shartlari. Beyker muammosi nafaqat Vinogradovning uchta tub teoremasini umumlashtirishga olib keldi (ya'ni, a1; a2; a3 bo'yicha b uchun pastki chegarani b0 olish, agar b>b0 bo'lsa, (1.2) tenglama eriydi), balki (1.2) ning kichik tub eritmalarining oʻlchamlari boʻyicha kashshof tadqiqotga (yaʼni, a1; a2; a3; p1p2 uchun b; (1.2) da p3 boʻyicha yuqori chegarani olish). Ushbu ikki muammo bo'yicha so'nggi natijalarni Liu va Tsang [5] olgan. Ular isbotladilar:
LT teoremasi. (1.3), (1.4) va (1.5) shartlarga rioya qilgan holda, samarali mutlaq doimiy A>1 mavjud bo'lib, shunday qilib
(i) agar a1, a2, a3 hammasi musbat bo‘lsa, (1.2) tenglama p1, p2, p3 tub sonlarida eriydi.
(1.6) b>=(3 max(a1; a2; a3))A;
(ii) a1, a2, a3 hammasi bir xil ishorali bo'lmasa, (1.2) p1 yechimga ega bo'ladi; p2; p3 qoniqarli
(1.7) max(p1; p2; p3) <= 3|b|+ (3 max(|a1|; |a2|; |a3|))A: