Chiziqli tenglamalar sistemasining yechishning Gauss usuli

Chiziqli tenglamalar sistemasining yechishning Gauss usuli

CHiziqli tenglamalar sistemasini yechishning eng ko’p ishlatiladigan usullaridan biri Gauss usulidir. Uning mohiyatini uch noma’lumli uchta chiziqli tenglama uchun ko’rsatamiz.

(1)
Bunda bo’lsin. Birinchi tenglamaning hamma hadlarini ga bo’lamiz va uni ga ko’paytirib mos ravishda ikkinchi va uchinchi tenglamalarga qo’shamiz. Bu holda quyidagi tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:

bu yerda va h.k.
bo’lib, boshqa tenglamalarda noma’lumlar oldidagi koeffitsientlari orasida noldan farqlilari bo’lsa, u holda bu tenglamalardan birini birinchi tenglamaning o’rni bilan almashtiramiz, keyin yuqoridagi amallarni bajaramiz. Bu birinchi qadam bo’ladi. Demak, birinchi qadamda birinchi tenglamada - noma’lum qolib, qolgan tenglamalardan ketma-ket - noma’lumni yo’qotamiz. Ikkinchi qadamda birinchi tenglama o’z o’rnida qolib, ikkinchi va uchinchi tenglama uchun yuqoridagi amallarni bajaramiz, ya’ni ikkinchi tenglamada noma’lumni qoldirib, uchinchi tenglamadan uni yo’qotamiz. SHunday qilib, bu amallar natijasida (1) tenglamalar sistemasi
(2)
ko’rinishga keladi. Endi hamma noma’lumlarni so’nggi tenglamadan boshlab teskari qadam bilan topish qoldi.
1-misol.
tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching.
Yechish. Birinchi tenglamani (-4) va (-3) ga ko’paytirib mos ravishda ikkinchi va uchinchi tenglamalarga qo’shamiz:
,
ya’ni bo’ladi.
SHu bilan birinchi qadam tugadi.
Ikkinchi qadamda, birinchi tenglamani o’z o’rnida qoldirib, ikkinchi tenglamani (-7) ga bo’lib yozamiz:

Uchinchi tenglamadan noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun ikkinchi tenglamani (-1) ga ko’paytirib uchinchi tenglamaga qo’shamiz:

Oxirgi tenglamadan ni topamiz. ni ikkinchi tenglamaga qo’ysak, yoki bo’ladi. larni birinchi tenglamaga quysak x₁=1 bo’ladi. SHunday qilib, .
Gauss usulining xususiyati shundan iboratki, unda sistemaning birgalikda masalasini oldindan aniqlab olish talab etilmaydi va:
1) sistema birgalikda va aniq bo’lsa, u holda usul yagona yechimga olib keladi;
2) sistema birgalikda va aniqmas bo’lsa, bu holda biror qadamda ikkita aynan teng tenglama hosil bo’ladi va shunday qilib, tenglamalar soni noma’lumlar sonidan bitta kam bo’lib qoladi;
3) sistema birgalikda bo’lmasa, u holda biror qadamda chiqarilayotgan (yo’qotilayotgan) noma’lum bilan birgalikda qolgan barcha noma’lumlar ham yo’qotiladi, o’ng tomonda esa noldan farqli ozod had qo

Bizga noma’lumli - ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

(1)
Bu sistema koeffitsientlaridan tuzilgan matritsa quyidagicha bo’ladi:



Biz faqat maxsusmas matritsa bo’lgan holnigina qaraymiz. (1) sistemaning chap tomonida matritsani
matritsaga ko’paytirishdan kelib chiqadigan satrli va bir ustunli matritsaning elementlari, sistemaning o’ng tomonida esa
matritsaning elementlari turibdi. SHu sababli ikki matritsaning tenglik ta’rifiga asosan, (1) ni quyidagicha


yoki, qisqacha (2) ko’rinishda yozish mumkin. Bu tenglamaga maritsaviy tenglama deyiladi. maxsusmas matritsa bo’lgani sababli, unga teskari bulgan matritsa mavjud, shu sababli (2) ni chap tomondan ga ko’paytiramiz:
, lekin , demak,


2-misol. tenglamalar sistemasini matritsaviy ko’rinishda yozing va uning yechimini toping.
Echish. Berilgan sistemaning matritsasini yozamiz


va deb belgilasak, u holda sistemaning matritsaviy ko’rinishi


ko’rinishda bo’ladi. ga teskari matritsa


bo’lgani sababli ni chap tomondan ga ko’paytiramiz: u vaqtda
yoki ga egamiz, bundan ni topamiz.