Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar ko`rinishida ifodalash. Teskari matritsa

Kifoyaligi.  

                                       

    (

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

)                                         (1) 

xosmas, ya`ni determinant noldan farqli bo`lgan 

          matritsa berilgan bo`lsin. 

Bu holda 

 

  

 teskari matritsa mavjudligini ko`rsatamiz. 

 

  

 teskari matritsa 

quyidagicha topiladi: 

1) A matritsadan uning har bir 

 

  

 elementining algebraik to`ldiruvchisidan 

iborat matritsani 

 

   

 ga ko`paytirib, quyidagi B matritsani tuzamiz: 

   

 

   

(

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

) 

2)  B  matritsaning  satrlari  va  ustunlarining  o`rinlarini  almashtirib, 

 

  

 

matritsani tuzamiz: 

                                             

 

  

 

 

   

  (

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

)                          (2) 

---

 

  

  matritsa  A  matritsaga  teskari  matritsa  ekanligini  ko`rsatish  uchun,  ularni 

o`zaro ko`paytiramiz: 

     

  

  (

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

)  

 

   

(

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

)  

 

   

  

  (

 

  

 

  

   

  

 

  

   

  

 

  

 

  

 

  

   

  

 

  

   

  

 

  

 

  

 

  

   

  

 

  

   

  

 

  

 

  

 

  

   

  

 

  

   

  

 

  

 

  

 

  

   

  

 

  

   

  

 

  

 

  

 

  

   

  

 

  

   

  

 

  

 

  

 

  

   

  

 

  

   

  

 

  

 

  

 

  

   

  

 

  

   

  

 

  

 

  

 

  

   

  

 

  

   

  

 

  

) 

Hosil  bo`lgan  (3)  matritsaning  asosiy  diagonalida  turgan  elemetlari  A 

matritsaning 

    determinantidan iborat bo`lib, qolgan elementlari esa nolga tengdir. 

Uni 

 

   

  ga  ko`paytirilsa, 

     

  

  birlik  matritsa  ekanligi  ko`rinib  turibdi.  Demak,  (2) 

matritsa (1) matritsaga teskari matritsa ekan. 

Teskari  matritsani  quyidagi  usul  bilan  ham  topish  mumkin.  A  matritsaga 

teskari 

 

  

 matritsani topish uchun, uni quyidagi ko`rinishda yozamiz: 

                                          

(

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

|

     

     

     

)                               (4) 

(4)  ning  chap  tomonida  A  matritsa,  o`ng  tomonida  esa  E  birlik  matritsa 

yozilgan.  (4)  dagi  matritsalarning  ikkalasiga  bir  vaqtda  A  matritsani  birlik  E 

matritsaga  keltiradigan  satrlar  bo`yicha  elementar  almashtirishlarni  bajaramiz.  (Bu 

elementar  almashtirishlarni  quyida  misolda  ko`rsatamiz.)  natijada  (4)  matritsa 

quyidagi ko`rinishga keladi: 

                                             

(

     

     

     

|

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

)                           (5) 

(5) ning o`ng tomonidagi matritsa A ga teskari matritsani ifodalaydi, ya`ni 

             

  

   . 

Misol. 

    (

     

     

     

) 

matritsaga teskari matritsani tuzing. 

Yechish. Bu matritsaning determinant: 

---

      |

     

     

     

|      

 

         bo`lgani  uchun  A  matritsa  xosmas  matritsadir,  shuning  uchun  unga 

teskari matritsa mavjuddir. 

Algebraik to`ldiruvchilarni hisoblaymiz: 

 

  

  |   

   

|    ,            

  

    |   

   

|     ,    

  

  |   

   

|    ,  

 

  

    |   

   

|           

  

  |   

   

|    ,            

  

    |   

   

|      

 

  

  |   

   

|    ,            

  

    |   

   

|     ,      

  

  |   

   

|      

B matritsani tuzamiz: 

   

 

  

(

 

  

 

  

 

  

 

     

)  

(

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

     

 

 

   

 

  )

 

 

 

 

Bu  matritsada  satrlar  va  ustunlarning  o`rinlarini  almashtirib,  A  matritsaga 

teskari 

 

  

 

(

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

    

 

 

    

 

 )

 

 

 

 

Matritsani hosil qilamiz. 

Bu  misolni  ikkinchi  usul  bilan  yechib  ko`ramiz,  uning  uchun  quyidagi 

matritsani tuzamiz: 

(

     

     

     

|

     

     

     

) 

A matritsa va E birlik matritsaning birinchi ustunini -2 ga ko`paytirib ikkinchi 

ustunga qo`shsak, quyidagiga ega bo`lamiz: 

---

(

 

 

 

      

 

 

 

|

      

 

 

 

 

 

 

) 

Uchinchi ustunni  -3 ga va 4 ga ko`paytirib,  mos ravishda birinchi va ikkinchi 

ustunlarga qo`shamiz: 

(

 

   

 

   

      

|

        

   

 

 

  

 

 

) 

Ikkinchi ustunni 

 

 

 ga va 

 

 

 

 ga ko`paytirib, mos ravishda birinchi va uchinchi 

ustunga qo`shamiz: 

(

 

 

      

     

     |

|

 

 

 

       

 

 

    

 

 

     

 

 

 

 

 

        

 

 )

 

 

 

 

Ikkinchi ustunni 9 ga bo`lib, ikkinchi va uchinchi ustunlarni almashtiramiz: 

(

 

 

      

     

     |

|

 

 

 

 

 

 

    

 

 

    

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

    

 

 )

 

 

 

 

Natijada A ga teskari 

 

  

  (

                

                  

                  

) 

matritsaga ega bo`lamiz. Bir xil natijaga ega bo`ldik. 

 

Teskari matritsa quyidagi xossalarga ega 

1) Teskari matritsaning determinanti berilgan matritsa determinantining teskari 

qiymatiga teng, ya`ni 

     

  

   

 

    

 

1) A va B kvadrat matritsalar ko`paytmasining teskari matritsasi uchun 

    

  

   

  

   

  

 

---

tenglik o`rinli. 

2) Transponirlangan  teskari  matritsa  berilgan  transponirlangan  matritsaning 

teskarisiga teng, ya`ni 

  

  

 

 

    

 

 

  

; 

3) Teskari matritsaning teskarisi berilgan matritsaning o`ziga teng, ya’ni 

  

  

 

  

    

Bularning isboti o`quvchining o`ziga havola qilamiz. 

Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar ko`rinishida ifodalash. 

Ushbu tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin: 

                                            

{

 

  

 

 

   

  

 

 

   

  

 

 

   

 

 

  

 

 

   

  

 

 

   

  

 

 

   

 

 

  

 

 

   

  

 

 

   

  

 

 

   

 

                          (6) 

Bu  sistemaning  noma’lumlari  oldidagi  koeffitsientlar,  noma’lumlar  va  ozod 

hadlardan tuzilgan quyidagi matritsalarni qaraymiz: 

                    

    (

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

),     (

 

 

 

 

 

 

),     (

 

 

 

 

 

 

)                         (7) 

Ravshanki, 

        (

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

)   (

 

 

 

 

 

 

)   (

 

  

 

 

   

  

 

 

   

  

 

 

 

  

 

 

   

  

 

 

   

  

 

 

 

  

 

 

   

  

 

 

   

  

 

 

) 

Berilgan  (6)  sistemani  matritsalarning  tengligi  ta’rifidan  foydalanib, 

quyidagicha yozish mumkin: 

(

 

  

 

 

   

  

 

 

   

  

 

 

 

  

 

 

   

  

 

 

   

  

 

 

 

  

 

 

   

  

 

 

   

  

 

 

)   (

 

 

 

 

 

 

) 

yoki, qisqacha 

                                                                    

                                                       (8) 

(8) – chiziqli tenglamalar sistemasining matritsali ko`rinishi deyiladi. 

(8) da X matritsani topish uchun uning har ikki tomonini chapdan 

 

  

 matritsaga 

ko`paytiramiz: 

 

  

            

  

                  

bo`lgani uchun  

---

     

  

    

yoki 

    (

 

 

 

 

 

 

)   (

 

  

̀  

 

   

  

̀  

 

   

  

̀  

 

 

  

̀  

 

   

  

̀  

 

   

  

̀  

 

 

  

̀  

 

   

  

̀  

 

   

  

̀  

 

) 

Bundan esa, ikki matritsaning tenglik shartiga asosan, 

 

 

   

  

̀  

 

   

  

̀  

 

   

  

̀  

 

 

 

   

  

̀  

 

   

  

̀  

 

   

  

̀  

 

 

 

   

  

̀  

 

   

  

̀  

 

   

  

̀  

 

                                                (9) 

(6) ning yechimiga ega bo`lamiz. 

Misol. Ushbu 

{

  

 

   

 

   

 

   

  

 

    

 

    

 

   

  

 

    

 

    

 

   

 

tenglamalar sistemasini matritsaviy ko`rinishda yozing va uning yechimini toping. 

Yechish. Berilgan sistemani matritsalarini yozamiz: 

    (

      

   

 

   

 

),     (

 

 

 

 

 

 

),     (

 

 

 

)  

u holda sistemaning matritsaviy ko`rinishi quyidagicha bo`ladi: 

          

A ga teskari 

 

  

 matritsani topamiz (

 

  

 ni topishni o`quvchiga havola qilamiz), u  

 

  

  (

     

 

  

      

 

 

  

)  

ko`rinishda bo`lgani sababli 

 

  

           

  

    yoki      

  

    ga ega bo`lamiz, 

bundan 

     

  

      (

     

 

  

      

 

 

  

)   (

 

 

 

)   (

                         

                           

                        

)   (

   

  

 

) 

Demak tenglamalar sistemasining yechimi: