Chiziqli tenglamalar sistemasi

Ikki o’zgaruvchili tenglamalar sistemasini yechishning qo’shish,

O’rniga qo’yish va grafik usullar

Reja:

1. IKKI O’ZGARUVCHILI TENGLAMALAR SISTEMASI.

2. QO’SHISH USULI

3. O’RNIGA QO’YISH USULI 4. GRAFIK USULI

CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI

Ushbu masalani qaraylik. Masala. O‘quvchi yig‘indisi 10 ga, ayirmasi esa 4 ga teng bo‘lgan ikkita son o‘yladi. O‘quvchi qanday sonlarni o‘ylagan? Izlanayotgan sonlardan birini x bilan, ikkinchisini esa y bilan belgilaymiz. U holda, masala shartiga ko‘ra

x+y = 10 (1)

x–y = 4 sonlar bir birgalikda sistemasini

bo‘ladi. Bu tenglamalarda noma’lum xil bo‘lgani uchun bu tenglamalar qaraladi va ular ikkita tenglama

tashkil qiladi deyiladi:

Chap tomonda turgan katta qavs har bir tenglamani to‘g‘ri tenglikka aylantiruvchi (x; y) sonlar juftligini topish kerakligini bildiradi. (1) tenglamalar sistemasi — bu birinchi darajali ikki noma’lumli ikkita tenglama sistemasiga misoldir.

Ikkita son: x = 7 va y = 3 (1) sistemadagi har bir tenglamani to‘g‘ri tenglikka aylantirishini tekshirib ko‘rish oson. Bunday sonlar juftligi (1) sistemaning yechimi deyiladi.

1. QO‘SHISH USULI

Tenglamalar sistemasini yeching: 7X-2Y=27

5X+2Y=33

Bu tengliklarni hadlab qo‘shamiz. Bu holda yana to‘g‘ri tenglik hosil bo‘ladi, chunki teng sonlarga teng sonlar qo‘shilyapti:

5X=60 BUNDAN X=5 VA Y=4

Shunday qilib, agar sistema yechimga ega bo‘lsa, u holda bu yechim faqat ushbu sonlar juftligi bo‘lishi mumkin: x = 5, y = 4

Tenglamalar sistemasini yechishning ko‘rib chiqilgan bu usuli algebraik qo‘shish usuli deyiladi. Noma’lumlardan birini yo‘qotish uchun sistema tenglamalarining chap va o‘ng qismlarini qo‘shish yoki ayirish kerak.

Ko‘rib chiqilgan masalalardan ravshanki, sistemani yechishda algebraik qo‘shish usuli ikkala tenglamaning ham biror noma’lum oldidagi koeffitsiyentlari bir xil yoki faqat ishoralari bilan farq qilgan holda qulay bo‘ladi. Agar bunday bo‘lmasa, u holda sistema har bir tenglamasining chap va o‘ng qismlarini mos keladigan sonlarga ko‘paytirish yo‘li bilan biror noma’lum oldidagi tirishga koeffitsiyentlarning . modullarini

O‘RNIGA QO‘YISH USULI 1- masala . Tenglamalar

sistemasini yeching:

X+2Y=5 2X+Y=4

2x + y = 4 tenglamaning chap qismidan 2x ni uning o‘ng qismiga olib o‘tamiz; yana to‘g‘ri tenglik hosil qilamiz: y = 4–2x. (2) Endi (1) sistemaning birinchi tenglamasini qaraymiz: x + 2y = 5. (3) x va y shunday sonlarki, (3) tenglik to‘g‘ri bo‘ladi degan farazimizni eslaylik. Bu tenglikdagi y sonni unga teng bo‘lgan 4–2x son bilan almashtiramiz, ya’ni (3) dagi y ning o‘rniga uning (2) dagi 4–2x qiymatini qo‘yamiz. U holda x + 2(4–2x) = 5 tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan topamiz: x +8–4x = 5, –3x =–3, x = 1. Y=2

(1)sistemani yechishning ko‘rib chiqilgan bu usuli o‘rniga qo‘yish usuli deyiladi. U quyidagilardan iborat:

1) sistemaning bir tenglamasidan (qaysinisidan bo‘lsa ham farqi yo‘q) bir noma’lumni ikkinchisi orqali, masalan, y ni x orqali ifodalash kerak;

2) hosil qilingan ifodani sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo‘yish kerak — bir noma’lumli tenglama hosil bo‘ladi;

3) bu tenglamani yechib, x ning qiymatini topish kerak; 4) x ning topilgan qiymatini y uchun ifodaga qo‘yib, y ning qiymatini topish kerak.

TENGLAMALAR SISTEMASINI

Ushbu sistema berilgan bo‘lsin: X-Y=-1

2X-Y=4 Avval birinchi tenglamani qaraymiz:

tekisligidagi geometrik tasviri bo‘libiuning grafigi

to‘g‘ri tenglikka aylantiruvchi M (x; y) nuqtalar

(2) tenglamaning grafigini yasash uchun bu tenglamada y ni x orqali ifoda qilamiz: y = x + 1. (3) (2) va (3) tenglamalar x va y sonlar orasidagi bir xil bog‘lanishni ifoda qiladi: x va y sonlarning istalgan juftligi uchun yoki (2) va (3) tengliklar to‘g‘ri, yoki ikkala tenglik ham noto‘g‘ri bo‘ladi. Shuning uchun bu tenglamalarning grafigi bir xil. (3) funksiyaning grafigi to‘g‘ri chiziq bo‘lgani uchun shu to‘g‘ri chiziqning o‘zi (2) tenglamaning ham grafigi bo‘ladi. To‘g‘ri chiziqni yasash uchun uning ikkita nuqtasini topish yetarli. Masalan, (2) tenglamadan topamiz: agar x = 0 bo‘lsa, u holda y = 1 bo‘ladi; agar x =–1 bo‘lsa, u holda y = 0 bo‘ladi. Shunday qilib, (2) tenglamaning grafigi (0; 1) va (–1; 0) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ladi

Y

5

4

3

2 Y=4-2X

1

-3 -2 -1 1 2 3 4 X

Xuddi shuningdek, birinchi darajali ikki noma’lumli ax + by = c ko‘rinishdagi istalgan tenglamaning grafigi, agar a yoki b sonlardan aqalli bittasi nolga teng bo‘lmasa, to‘g‘ri chiziq bo‘lishini ko‘rsatish mumkin. (1) sistemaning ikkinchi tenglamasi 2x + y = 4, ya’ni y =4–2x (4) grafigini yasaymiz .Agar bu tenglamada x = 0 bo‘lsa, u holda y = 4 bo‘ladi; agar y = 0 bo‘lsa, u holda x = 2 bo‘ladi. Demak, (4) tenglamaning grafigi (0; 4) va (2; 0) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ladi

Tenglamalar sistemasini yechishning grafik usuli quyidagilardan iborat:

1) sistema har bir tenglamasining grafigi yasaladi; 2) yasalgan to‘g‘ri chiziqlar kesishish nuqtasining

(agar ular kesishsa) koordinatalari topiladi. Tenglamalar grafiklari kesishish nuqtasining koordinatalari shu tenglamalar sistemasining yechimi bo‘ladi. Grafik usul ko‘pgina amaliy masalalarning taqribiy yechimlarini topishda qo‘llaniladi. Tenglamalar sistemasi nechta yechimga ega bo‘lishi mumkinligini grafiklar yordamida osongina aniqlash mumkin.