Chiziqli operatorlar va ularning xossalari

1-teorema. Har bir chiziqli operatorga berilgan bazisda tartibli matritsa mos keladi va aksincha har bir tartibli matritsaga oʻlchovli chiziqli fazoni, oʻlchovli chiziqli fazoga akslantiruvchi chiziqli operator mos keladi.
Isbot. Faraz qilaylik chiziqli operator boʻlsin. Agar vektorlar sistemasi fazoning bazisi boʻlsa, u holda ixtiyoriy elementni bu bazis elementlari orqali yozish mumkin:
. (1)
Bu yerda biz operatorning chiziqliligidan foydalanib, ni quyidagicha yoza olamiz:
. (2)
Bu yerda har bir elementlar oʻz navbatida fazoning elementlari boʻlganligi sababli, bu elementlarni ham bazis orqali yozish mumkin:
. (3)
U holda (3) dan foydalanib (2) ifodani quyidagicha yozish mumkin:
(4)
Ikkinchi tomondan element ham bazis elementlari boʻyicha quyidagi yoyilmaga ega:
. (5)
Vektorning bitta bazis boʻyicha yoyilmasi yagonaligidan (4) va (5) tengliklarning oʻng tomonlarini tenglashtirib, quyidagini olamiz.

yoki matritsa koʻrinishida , bu yerda

3- ta’rif. matritsa operatorning bazisdagi matritsasi, matritsaning rangi esa operatorning rangi deyiladi.
fazoning barcha vektorlarini nol vektorga akslantiruvchi operator nol operator, tenglikni qanoatlantiruvchi operator birlik operator deb ataladi.
2- misol. fazoda bazisda chiziqli operator matritsasi

berilgan boʻlsin. vektorning aksini toping.
Yechish. Yuqorida qayd qilingan formulaga koʻra

Demak, .
3- misol. operatorning matritsasini toping.
Yechish. matritsaning har bir elementini topamiz:



U holda
.
Chiziqli operatorlar ustida bajariladigan chiziqli amallar bilan tanishib chiqamiz. chiziqli fazoda operatorlar berilgan boʻlsin.