Chiziqli funksiya

Y uqori yarim tekislikni birlik doiraga akslantirish.
Yuqori yarim tekislikdagi biror  sonni obrazi W=0 bo’lsin. Oxo’qiga nisbatan  va sonlar simmetrik bo’lganligi uchun kasr–chiziqli akslantirish natijasida  ni obrazi ga aylanaga nisbatan simmetrik bo’lgan nuqtaga o’tishi kerak. Shuning uchun kasr–chiziqli akslantirish quyidagi shaklda bo’lishi kerak.

bu erda k o’zgarmas koeffitsientni topamiz. Ox o’qi |w|=1 aylanaga akslanadi deb qaralsa, z=x, z-=x-=x-(a+ib)=(x-a)-bi
z- =(x-a)+bi bo’ladi.
Bu yerdan ko’rinadiki,

ya’ni |k|=1ekan. Shuning uchun k ni quyidagicha yozish mumkin: , bunda –o’zgarmas son. Shunday qilib, Yuqori yarim tekislikni birlik doiraga akslantiruvchi kasr–chiziqli funksiya ushbu
(11)
ko’rinishga egadir.

Yuqori yarim tekislikni o’z-o’ziga akslantirish

Ox o’qidan  3 ta nuqtalarni olib, ularni mos ravishda w₁=0, w₂=1, w₃= nuqtalarga mos qo’yamiz.
(*)
da bo’ladi.
ni (*) ga olib borib kuysak,

formulaga olib borib qo’yamiz. Demak,

tenglikni hosil qilamiz. Demak, yuqori yarim tekislikni yuqori yarim tekislikka akslantiruvchi kasr chiziqli akslantirish

shaklda bo’lib, (bunda A, B, C, D lar – haqiqiy sonlar) bu akslantirish Yuqori yarim tekislikni Yuqori yarim tekislikka akslantirar ekan.

Doirani o’z-o’ziga aks ettirish.

doiradagi birorta  nuqta w=0 nuqtaga o’tsin. |z|=1 aylanaga nisbatan  nuqta ga simmetrik bo’lgan nuqta bo’lganligi uchun nuqta W= nuqtaga o’tishi kerak. Shuning uchun kasr chiziqli akslantirish quyidagi shaklda bo’lishi kerak.
, bunda
|z|=1 aylana |w|=1 aylanaga o’tadi deb hisoblasak,
bo’ladi.
ekanligini e’tiborga olsak,

bundan, |k’|=1 ekanini hosil qilamiz. Shuning uchun , bunda  o’zgarmas son. Demak,
ekan.