MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNALOGIYALARI UNIVERSITETI KOMPYUTER INJINERINGI FAKULTETI 218-20 GURUH TALABASI RAJAPOV AZAMAT Chiziqli Algebra FANIDAN YOZGAN
MUSTAQIL ISHI
TOPSHIRDI: Rajapov A
QABUL QILDI Sadaddinova S
Toshkent 2021
Unitar fazaolar va ular ustida chiziqli operatorlar
Reja:
Vektor fazo haqida tushuncha.
Ortogonal vektorlar
Evklid vektor fazosi yoki Unitar fazo.
Chiziqli operatorlar .
Xulosa.
Bo’sh bo’lmagan V to’plam va ℱ maydon berilgan bo’lsin. Agar quyidagi aksiomalar bajarilsa, u
holda V to’plam ℱmaydoni ustiga qurilgan vektor fazo deyiladi:
1.V–additiv abel gruppa;
2. ( )x (x) (x V,, F);
3. (x y) x y (x,y V, F);
4. ( )x x x (x V,, F);
5. 1 x x (x V, 1 F).
Endi vektor fazoning ta’rifidan kelib chiqadigan quyidagi xossalar bilan tanishib o’tamiz:
. Vektor fazo ta’rifidagi 1-aksiomaga binoan V chiziqli fazo additiv abel gruppa bo’lganidan u yagona 0 elementga ega. Bundan tashqari V ning har bir x elementi uchun yagona x qarama-qarshi element mavjud.
0 x 0 (x V, 0 F). 3
0 0 ( F, 0 V).
Agar x 0 bo’lsa, u holda 0 yoki x 0 bo’ladi.
Agar x y bo’lib, 0 bo’lsa, u holda x y bo’ladi.
Agar x x bo’lib, x 0 bo’lsa, u holda bo’ladi.
С {a bi| a,b R, i 1} 2 to’plam R haqiqiy sonlar maydoni ustidagi vektor fazoni ifodalaydi
Kompleks sonlar maydoni ustida aniqlangan V vektorlar fazosi berilgan bo’lsin.
Agar V fazoning har bir juft x va y elementlariga ularning skalyar ko’paytmasi deb ataluvchi yagona (x, y) haqiqiy son mos qo’yilib, bu moslik uchun
1) (x, y) (y, x) ;
2) (x y, z) (x, z) ( y, z);
3) (x, y) (x, y), R ;
4) (x, x) 0 aksiomalar bajarilsa, u holda V vektorlar fazosiga skalyar ko’paytmali fazo deyiladi. Yuqoridagi aksiomalardan skalyar ko’paytmaning quyidagi xossalari kelib chiqadi:
1 . (x, y z) ( y z, x) ( y, x) (z, x) (x, y) (x, z)
2 . (x, y) ( y, x) (y, x) (x, y) .
Agar V fazoning istalgan x 0 vektori uchun (x, x) 0 bo’lsa, V fazoda aniqlangan skalyar ko’paytma xosmas skalyar ko’paytma deyiladi.
Agar V fazoning istalgan x va y vektorlari uchun (x, y) 0 bo’lsa, V fazoda aniqlangan skalyar ko’paytma nol skalyar ko’paytma deyiladi. Biz bundan keyin faqatgina xosmas skalyar ko’paytmaga ega bo’lgan fazolar bilangina shug’ullanamiz.
Agar V fazoning istalgan x 0 vektori uchun (x, x) 0 bo’lsa, bunday fazoga unitar fazo deyiladi.
Agar unitar fazoning ikkita x va y vektorlari uchun (x, y) 0 bo’lsa, u holda x va y vektorlar ortogonal vektorlar deyiladi.
Agar V fazoning a1 , a 2 ,..., an (1) vektorlar sistemasining istalgan ikkita elementi o’zaro ortogonal bo’lsa, u holda (1) sistema ortogonal vektorlar sistemasi deyiladi.
Teorema. Agar V xosmas skalyar ko’paytmali vektor fazo bo’lsa, u holda V fazoning nolmas vektorlaridan tuzilgan ortogonal vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi.
Agar ortogonal vektorlar sistemasi qaralayotgan fazoning bazisi bo’lsa, bunday sistema ortogonal bazis deyiladi.
e1 (1,0,0), e 2 (0,1,0), e 3 (0,0,1) sistema R 3 fazoning ortogonl bazisi bo’ladi.
V2 fazoda berilgan ikkita a va b vektorlarning skalyar ko’paytmasi
(a, b) a b cos(a^ b) (1) formula orqali aniqlanadi.
formuladan a b a b a b ( , ) cos( ^ ) (2) topiladi. Bunda (a^ b) belgi a va b vektorlar orasidagi burchakni bildiradi. Ta’rif. Haqiqiy sonlar maydoni ustida aniqlangan V unitar fazoga Evklid fazosi deyiladi. Evklid fazoni E orqali belgilaylik. Bu ta’rifga ko’ra biror V fazo Evklid fazosi bo’lishi uchun uning elementlari ustida quyidagi shartlar bajarilishi lozim:
1) (x, y) (y, x) (x, y V) ;
2) (x, y z) (x, y) (x,z) (x, y, z V) ;
3) (x, y) (x, y) (x, y V, R) ;
4) (x, x) 0 (x V, x 0), (x, x) 0 (x V, x 0) .
1–4-aksiomalar (x, y) skalyar ko’paytmaning har bir tashkil etuvchilariga ko’ra chiziqli ekanligini bildiradi.
Ta’rif. + (a, a) miqdor a V vektorning normasi (uzunligi) deyiladi va a orqali belgilanadi.
Ta’rif. Agar a 1 bo’lsa, a normallangan vektor deyiladi. Agar a , b - Evklid fazosining ixtiyoriy vektorlari va R uchun vektorning normasi quyidagi xossalarga ega:
. a 0 ( a 0 a 0) ;
. a a ;
. (a, b) a b (Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi);
. a b a b (uchburchak tengsizligi).
Evklid fazosining har biri normallangan a1 , a2 ,...,an (3) ortogonal vektorlar sistemasiga ortonormallangan vektorlar sistemasi deyiladi. Agar (3) sistema bazis tashkil etsa, unga Evklid fazosining ortonormallangan bazisi deyiladi.
Misol. e1 (1,0,0), e 2 (0,1,0), e 3 (0,0,1) uch o’lchovli Evklid fazosining ortonormallangan bazisi bo’ladi.
Haqiqatan, (e1 , e 2 ) 0, (e1 , e 3 ) 0, (e 2 , e 3 ) 0; e1 1, e2 1, e3 1 bo’ladi.
Demak, e1 , e 2 , e 3 sistema E fazoning bazisi ekan.
Teorema. Chekli o’lchovli Evklid fazosining istalgan bazisini ortonormallash mumkin.
Isboti. a1 , a2 ,...,an vektorlar sistemasi n o’lchovli En Evklid fazoning bazisi bo’lsin. Bizga ma’lumki a1 , a2 ,...,an bazisni hamma vaqt ortogonallash mumkin.
Ortogonal bazisdagi har bir vektorni o’z normasiga bo’lib, quyidagi sistemani hosil qilamiz:
, , ………, , (4)
Vn fazo Evklid fazosi bo’lgani uchun = vа = vektorlar uchun
( ) = (5) tenglik bajariladi.
Demak, (4) sistema ortonormallangan sistema ekan.
Biz oldingi ma’ruzalarda vektor fazo tushunchasi bilan tanishgan edik. Endi turli vektorlar fazolari orasida qanday munosabatlar mavjudligini ko’raylik. U vektor fazoning V vektor fazoga akslantirish bo’lsa, u holda : U V ko’rinishda belgilaylik.
U vektor fazoning ixtiyoriy x elementiga akslantirish yordamida V vektor fazodan mos keluvchi vektorni y deylik.
Bu moslik : x y , x y , x y , y (x) ko’rinishlarda belgilanadi. Ta’rif. ℱ sonlar maydoni ustida aniqlangan U vektor fazoning V vektor fazoga akslantiruvchi akslantirish uchun ushbu 1. (x1 x 2 ) (x1 ) (x 2 ) ,
2. (x) (x) ( F) shartlar bajarilsa, u holda U vektor fazo V vektor fazoga chiziqli akslanadi deyiladi U fazoni V fazoga chiziqli akslantirishlar to’plamini Hom(U,V) orqali belgilanadi.
Ta’rif. U vektor fazoni o’z-o’ziga akslantirish U fazoda aniqlangan operator deyiladi. Yuqoridagi ikkita ta’rifdan ko’rinadiki, operator chiziqli akslantirishning xususiy holi ekanligi. Operatorlar f ,,... harflar bilan belgilanadi.
Ta’rif. U vektor fazoni o’z-o’ziga chiziqli akslantirish U fazoda aniqlangan chiziqli operator deyiladi. chiziqli akslantirish ta’sirida (x) y bo’lsa, u holda y vektor x vektorning obrazi (tasviri), x vektor esa y vektorning proobrazi (asli) deb yuritiladi. xU bo’lganda (x)V vektorlar to’plami odatda akslantirishning obrazi deb yuritiladi va Jm yoki U orqali belgilanadi.
Misol. Agar : akslantirish S kompleks sonlar maydoni ustida chiziqli operator bo’ladi (Bunda va sonlar o’zaro qo’shma kompleks sonlar).
Ta’rif. U vektor fazoning ixtiyoriy x1 va x 2 elementlari va U da aniqlangan operator uchun (x1 x 2 ) (x1 ) (x 2 ) tenglik bajarilsa, u holda ga U da aniqlangan additiv operator deyiladi. Quyidagi xossalar o’rinli:
0 0 ;
2 . (-x) (x) (x U);
3 . (r x) r x (r Q);
. (x1 x 2 ) (x1 ) (x 2 ) (x1 , x 2 U) .
Ta’rif. Agar ixtiyoriy son bo’lganda ham U fazoning ixtiyoriy x elementi uchun ( x) (x) tenglik o’rinli bo’lsa, u holda ga U da aniqlangan bir jinsli operator deyiladi.
Ta’rif. Bir vaqtda bir jinsli va additiv bo’lgan operatorga chiziqli operator deyiladi. operator chiziqli operator bo’lishi uchun
U fazoning ixtiriy x1 ва x 2 elementlari va 1 , 2 F berilganda
( 2 ) x x x x tenglikning bajarilishi zarur va etarli. Bu mulohazani isbotlashda yuqoridagi ikkita ta’rifdan foydalaniladi. Agar chiziqli operator bo’lsa, u holda , ( 1, ) i x U P i n i uchun ushbu ( ... ) ( ) ( 2 ) ... ( ) 1 1 1 2 2 1 1 n n n n x x x x x x (1) tenglik o’rinli bo’ladi.
Bu mulohazada (1) tenglik matematik induktsiya printsipi asosida isbot qilinadi.
Ta’rif. Agar xU uchun (x) 0 tenglik bajarilsa, u holda operatorga nol operator deyiladi. Nol operator ham chiziqli operator bo’ladi. (Isbotlang).
Ta’rif. Agar xU uchun e(x) x tenglik bajarilsa, u holda e ga ayniy (birlik) operator deyiladi. Ta’rif. Agar xU , Р uchun (x) x tenglik bajarilsa, u holda ga o’xshashlik operatori deyiladi. Demak, bu ta’rifdan ko’rinadiki, 0 bo’lsa, o’xshashlik operatorining nol operator, 1 bo’lsa, o’xshashlik operatorining ayniy operator bo’lishi.
Ta’rif. Agar x (x1 , x2 ,..., xn ) U bo’lib, (x) (x , x ,..., x ) (x , x ,..., x ) (1 k n) 1 2 n 1 2 k bo’lsa, ya’ni operator n o’lchovli fazodagi vektorni k o’lchovli fazodagi vektorga o’tkazuvchi operator bo’lsa, u holda ga proektsiyalovchi operator deyiladi.
Agar Un fazoning ixtiyoriy x vektori uchun f (x) (x) (x) tenglik bajarilsa u holda f ga va operatorlarning yig’indisi deyiladi va u f orqali yoziladi.
x Un F, uchun ()x (x) tenglik bajarilsa, u holda ga operatorning skalyarga ko’paytmasi deyiladi. Ayrim hollarda Un fazoning nolmas vektorini operator ta’sirida nol vektorga akslanishi mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar :
Algebra va Sonlar nazaryasi .
www.ziyouz.com
http://n.ziyouz.com/kutubxona/category/145-matematika?download=7297:algebra-va-sonlar-nazariyasi-1-qism-r-nazarov-va-b
www.library.ziyonet.uz
http://library.ziyonet.uz/ru/book/download/56335
Do'stlaringiz bilan baham: |