Chiziqli algebra elementlari

Chiziqli tenglamalar sistemasini Кramer usuli bilan echish.


Uchta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
a₁x+b₁y+c₁z=d₁
a₂x+b₂y+c₂z=d₂
a₃x+b₃y+c₃z=d₃
Asosiy va yordamchi determinantlarni tuzamiz:
a₁ b₁ c₁ d₁ b₁ c₁ a₁ d₁ c₁ a₁ b₁ d₁
= a₂ b₂ c₂ _x= d₂ b₂ c₂ _y= a₂ d₂ c₂ _z= a₂ b₂ d₂
a₃ b₃ c₃ d₃ b₃ c₃ a₃ d₃ c₃ a₃ b₃ d₃


Agar  0 bo’lsa, sistema yagona x=_x/ , y=_y/, z=_z/ yechimlarga ega bo’ladi.
Gauss usuli
Chiziqli tenglamalar sistemasini bo’lganda Кramer usuli bilan yechish qiyinlashadi. Gaussni ketma – ket noma’lumni yo’qotish usuli bilan engilroq echish mumkin.
Chiziqli algebra — mat.ning chiziqli fazolar va ularning chizikli akslantirishlarini oʻrganuvchi boʻlimi. Chiziqli algebraning rivojlanishi 19-asrda chiziqli tenglamalarning umumiy nazariyasi vujudga kelishi bilan boshlandi. Chizikli tenglamalarni oʻrganish jarayonida qoʻllana boshlagan aniqlovchi (determinant) vektorlar, matritsalar kabi tushunchalar mat.da oʻzaro qoʻshish va skalyarga koʻpaytirish mumkin boʻlgan obʼyektlar alohida oʻrin tutishini anglashga, ularni boshqa konkret xossalaridan ajralgan hodda oʻrganishga olib keldi. 19-asr oxirida ikkinchi tartibli sirtlarning tenglamalarini kanonik (eng sodda) koʻrinishga keltirish masalasi Chiziqli algebra masalasidan iborat ekanligi aniklangach, Chiziqli algebra koʻp oʻlchovli fazo analitik geometriyasi bilan qoʻshilib ketdi va chizikli, bichizikli, kvadratik formalar, chizikli almashtirish va akslantirish, Yevklid fazosi, proyektiv fazo tushunchalari bilan boyidi.
Differensial geom. va mexanika ehtiyoji bilan Chiziqli algebra da vektorlarni umumlashtiruvchi tenzorlar, chiziqli va bichizikli formalarni umumlashtiruvchi yarimchizikli forma tushunchalari kiritildi. Chiziqli algebraning tenzorlar algebrasi, yarimchiziqli algebra kabi boʻlimlari vujudga keldi.


Mavzuga doir namunaviy misollarni yechimi.

Misol-1. Ushbu determinantni yoyib yozish usuli bilan hisoblang.

4 -2 4 2 12 -10 12
= 10 2 12 =4 -2*(-2)
1 2 2 2 2 1 2


10 2
+4 =4(4-24)+2(20-12)+4(20-2)=8
1 2
Misol-2. Chiziqli tenglamalar sistemani Кramer usuli bilan yeching:
2x-3u=5
3x+2u-4z=-7
x-6y-2z=3
Yechish: Sistemaning asosiy  determinantini hisoblaymiz. Masalan, yoyib yozish usuliga asosan (Laplas teoremasi)
Demak berilgan tenglamalar sistemasi yagona echimga ega. Endi _x, _y, _z determinantlarni hisoblamiz:


5 -3 0 2 5 0
_x= -7 2 -4 = -62 , _y= 3 -7 -4 =62
3 -6 -2 1 3 -2

2 -3 5
_z= 3 2 -7 = -124

1 -6 3
Кramer formulasiga asosan sistemani yechimi x=1, y= -1, z=2 bo’ladi.
Quyidagi tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching.

Misol-3.

Birinchi tenglamani mos ravishda 1 ga, -2 ga, -1ga ko’paytirib ikkinchi uchinchi, to’rtinchi tenglamalarga qo’shamiz.

Ikkinchi tenglamani uchunchi teglamaga va ikkinchi tenglamani -2 ga to’rtinchi tenglamani 3 ga ko’paytirib qo’shsak

Uchinchi tenglamani (-5) ga ko’paytirib, to’rtinchi tenglamani 3ga ko’paytirib qo’shsak

oxirgi tenglamadan , 3 tenglamaga qo’ysak , ikkinchi tenglamadan va birinchi tenglamadan echimi kelib chiqadi. Demak, chiziqli tenglamalar sistemasini echimi
(1; 1; -1; 1;).
Mustaqil yechish uchun misollar.

Quyidagi determinantlarni hisoblang.

1) , 2) , 3) ,
4) tenglamani yeching.
5) , 6) , 7) ,

8) , 9) , 10) ,

11) , 12) 13)

14) 15)

№ 1-20 misollarda chiziqli tenglamalar sistemasini Кramer usuli bilan yeching.
1. 2x+3y-7z=8 2. 4x-5y+z=3 3. 7x+2y-4z=-6
3x-y+5z=1 x-6y+3z=-4 4x-2y-z=-4
x-4y+6z=-7 3x+2y-z=8 -x+y+z=3
4. 5x-6y+5z=-7 5. -3x+5y+6z=9 6. -4x+8y+7z=-1
3x-2y+4z=0  5x-y-4z=-3  x+y-5z=-3
-2x+y-7z=-5 4x+3y-z=2 -2x-3y+5z=1

7. 7x+5y-3z=-4 8.  3x+4y+5z=-1 9. 3x-5y+z=0

3x-6y-5z=-1 -7x+2y-6z=3 -2x+2y-3z=1
-2x+3y+4z=3  x-y+z=-2 2x-2y+4z=-2

10.2x+7y+z=0 11. 7x-y+z=-3 12. 5x+2y-3z=10

-2x+2y-3z=1  -4x-2y-z=-3  -x-4y+z=-2
2x-2y+4z=-2  x+2y+3z=1  - -2x-y-6z=4

13.  4x+2y-z=0 14. x-3y+5z=10 15. 15 3x-2y+5z=3

 2x-y+z=5  -x-y+z=0  x+y-3z=4
 -3x+3y+2z=-2  2x+5y-3z=-4  -x-2y+3z=-3
16 . 7x+5y-3z=0 17. 4x-y+5z=3 18.  3x+2y-z=-6
8x+y+3z=-3  7x-3y-4z=5 -x-3y+2z=3
 2x+4y-4z=2  x-y+5z=-6  4x+y+z=-5

19  x+y-2z=-6 20. 2x+3y+4z=0

2x+4y-z=-1  x+y+5z=-4
 3x+5y-2z=-4  -x-2y+3z=-6
Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemalarini Gauss usuli bilan yeching
1) 2)
3) 4)