Chiziqlar nazariyasi. Egri chiziqlar va ularning tenglamalari. Ajoyib geometrik obyektlar egri chiziqlar haqida Ajoyib eng sodda egri chiziqlar

3. Mexanik egri chiziqlar
Mexanik egri chiziqlar ichida eng muhimlari, aylanada joylashgan nuqtaning harakati orqali yasaladiganlaridir. Siz qorong‘uda harakatlanayotgan velosipedning g‘ildiraklariga o‘rnatilgan nur qaytargichlarni kuzatgan bo‘lsangiz, ularning aylana chizib harakatlanayotganiga ahamiyat bergan bo‘lsangiz kerak. Bunday egri chiziq sikloida deyiladi. Agar velosiped ideal tekis-ravon yo‘lda harakatlansa, nur qaytargich ham aniq aylana chizgan holda harakatlanadi. Agar yo‘l o‘nqir-cho‘nqir, baland-past bo‘lsa, unda nur qaytargich harakati ifodalayotgan egri chiziqlarning turlari ham cheksiz ko‘p xilda bo‘lishi mumkin. Lekin matematikada, bunday egri chiziqlarning asosan uchun xiliga: sikloidalarga, episikloidalarga va giposikloidalarga katta ahamiyat qaratiladi. Ushbu mexanik egri chiziqlar orqali, yanada murakkab egri chiziqlar yasash mumkin va shu sababli ham ushbu egri chiziqlarga qiziqish nisbatan kattaroqdir.
Sikloidalar
Sikloidalar to‘g‘ri chiziq bo‘ylab aylanma harakat qilayotgan aylanadagi aniq bir nuqtaning trayektoriyasi sifatida ta'riflanadi.


Sikloidalarni ko‘plab mashhur matematiklar o‘rganishgan. Ushbu egri chiziqlarni mufassal tekshirgan dastlabki olimlardan biri mashhur olim, zamonaviy fizika fanining otasi bo‘lmish Galileo Galileydir (1564-1642). Biroq, Galileyning bu borada omadi chopgan deyish qiyin. Xususan u, sikloida va tekislik orqali chegaralangan yuzani hisoblashga ko‘p bora urinib, buni uddalay olmagan. U hatto metall plastinadan xuddi shunday egri chiziqli shaklni yasab, uning yuzasini sof fizik o‘lchashlar orqali ham hisoblamoqchi bo‘lgan, lekin baribir maqsadiga yeta olmagan. Ushbu shaklning yuzini aniq hisoblashni birinchi bo‘lib Rene Dekart (1598-1650) uddalagan. U 3π² ga teng bo‘lib, bunda r - sikloida chizayotgan aylana radiusi. Dekartdan so‘ng Jil Roberval (1602-1675) ushbu egri chiziq chizayotgan yoy uzunligini hisoblab chiqdi. Ushbu yoy ham juda sodda matematik formula orqali ifodalanadi: L=8a. Ushbu egri chiziq bundan tashqari, ancha yillardan davomida ko‘plab olimlar va muhandislar uchun chaqilmas toshyong‘oq bo‘lib kelgan ikkita muhim masalani yechish uchun ham xizmat qildi.

Yupiterning Yevropa yo’ldoshi sirtida sikloida ko’rinishidagi geologik strukturalar shakllangan. Ushbu sikloidalar Yevropaning Yupiter atrofida aylanishida, gigant sayyoraning kuchli tortishish kuchi tufayli yuzaga kelgan.
Ulardan birinchisi braxistoxrona haqidagi masala bo‘lgan. Ushbu masalada, o‘ziga ta'sir qilayotgan kuch tufayli maksimal tezlikka ega bo‘lgan jismning qanday egri chiziqli trayektoriya chizishini aniqlash kerak bo‘ladi. Ya'ni, bunda jism o‘zi chizishi kerak bo‘lgan trayektoriyani eng qisqa vaqt mobaynida chizib ulguradi. Ushbu masalani 1696- yilda Iogann Bernulli yechgan edi. Yechim sikloida bo‘lib chiqqan.
Ikkinchi muhim masala esa tautoxron egri chiziq haqidagi masala bo‘lib, u mayatnikning qo‘yilgan shartlar asosida, mayatnikning og‘irlik markazi chizishi lozim bo‘lgan egri chiziqni aniqlashdan iborat edi. Shart esa, mayatnik uchun shunday og‘irlik markazini topish kerakki, unga asosan, mayatnikning yon taraflarga qanchalik masofagacha borib-kelishidan qat'iy nazar, uning tebranish davri o‘zgarmasligi lozim. Ushbu masalani esa 1673-yilda golland olimi Xristian Gyuygens (1629-1695) hal qilgan. U o‘z yechimidan keyinchalik ajoyib mayatnikli soatlar tayyorlashda foydalangan. Ushbu masalaning yechimi ham sikloida bo‘lib chiqqan edi.

Gollandiyada Yevro muomalaga kiritilguniga amal qilgan milliy valyuta guldenning 25 florin qiymatga ega banknotasida Xristian Gyuygens portreti bilan birga, u mualliflik qilgan ko’p sonli ilmiy kashfiyotlarga ham urg’u berilgan bo’lib, banknotaning teskari tarafida tautoxron sikloida chizuvchi mayatnik tasviri ham alohida tarzda ko’rsatilgan. Yuqoridagi rasmda aynan o’sha golland banknotasining old (avers) va orqa (revers) taraflari tasviri keltirilgan.