Чизиқнинг эгрилиги ҳақида тушунча. Чизиқ эгрилигини ҳисоблаш учун формула

ЧИЗИҚНИНГ ЭГРИЛИГИ.
РЕЖА.

1. 
   Чизиқнинг эгрилиги ҳақида тушунча.
   
2. 
   Чизиқ эгрилигини ҳисоблаш учун формула.
   
3. 
   Чизиқ эгрилигини ҳисоблашда табиий ва ихтиёрий параметрли формулалар орасидаги богланиш.
   
4. 
   Чизиқ эгрилигининг теометрик маъноси.
   

Айтайлик g регуляр эгри чизиқ ва унда ётувчи Р нуқта берилган бўлсин. Эгри чизиқда П нуқтага яқин бўлган Қ нуқталарда уринмалар ўтказамиз. Бу уринмалар орасидаги бурчакни Dq билан ПҚ ёй узунлигини эса |Dс| билан белгилаймиз.

Таъриф. Эгри чизиқ бўйлаб Қ нуқта Р нуқтага интилганда Dq/|Dс| нисбат интилган лимит эгри чизиқнинг П нуқтасидаги эгрилиги дейилади ва к ҳарфи билан белгиланади.
ТЕОРЕМА. Регуляр (икки марта узлуксиз дифферентсиалланувчи) эгри чизиқ ҳар бир нуқтасида аниқ эгриликка эга. Агар р=р(с) унинг табиий параметрланган тенгламаси бўлса, эгрилик
к=|р"(с)|
формула билан ҳисобланади.
ИСБОТ. П ва Қ нуқталарга параметрнинг мос равишда с ва с+Dс кийматлар мос келсин. Уринмалар орасидаги Dq бурчак уларнинг бирлик векторлари t(с) ва t(с+Dс) орасидаги бурчакка тенг. Маълумки, t(с)=р(с) ваt(с+Dс)=р(с+Dс) га тенг.
t(с) ваt(с+Dс) векторлар бирлик векторлар бўлиб, улар орасидаги бурчак Dq бўлгани учун
|t(с+Dс)-t(с)|=2син(Dq/2)
бўлади. Бундан

q нуқта П га интилганда Dс®0, Dq®0 бўлишини эътиборга олиб, оҳирги тенгликда лимитга ўтсак, |tъ(с)|=к келиб чиқади ёки к=|р"(с)| ўлиб, бу тоеремани исботлайди.
Фараз қилайлик берилган нуқтада эгрилик 0 дан фарқли бўлсин.
g=1/(кр"(с)) вектор бирлик вектор бўлиб, ёпишма текисликда жойлашгандир. Бундан ташқари у уринма вектор t га ҳам перпендикулярдир. Демак, бу вектор бош нормал бўйлаб йўналган бўлиб, уни бош нормалнинг бирлик вектори деб юритилади.
b=[t,g] вектор бирлик вектор бўлиб, t ва g векторларнинг ҳар бирига перпендикулярдир. Демак, b бинормал бўйлаб йўналган ва уни бинормалнинг бирлик вектори деб юритамиз.
Енди эгри чизиқ тенгламаси ихтиёрий т параметр орқали берилганда эгриликни ҳисоблаш учун формула топамиз. Эгри чизиқ р=р(т) тенглама билан берилган бўлсин. Бундан
ръ=ръ_ссъ дан ръ²=съ² (*)
ръ_с=
Оҳиргини яна т бўйича дифферентсиаллаймиз.

Бу тенгликнинг ҳар икки томонини квадратга кўтариб, ва (*) тенгликни эътиборга олиб, қуйидагини топамиз:

ёки

Бу формуладан фойдаланиб, ихтиёрий параметрли эгри чизиқнинг эгрилиги ҳисобланади.
Енди эгриликнинг геометрик маъносини кўрайлик.
Р=1/к миқдор чизиқнинг берилган М₀(х₀,й₀,з₀) нуқтасидаги эгрилик радиуси дейилади. Р радиусли айлана шу нуқтадаги эгрилик айланаси, унинг маркази эса эгрилик маркази дейилади.
Чизиқнинг М нуқтасидаги эгрилик радиуси

формула билан, эгрилик марказининг координаталарини эса

формула билан топилади. Чизиқ ва унинг эгрилик айланаси умумий нуқтада умумий уринмага эгадир. Эгрилик айланасининг радиуси уринмага тикдир. Демак, эгрилик маркази чизиқнинг нормалида ётади. Чизиқнинг иккита бир-бирига яқин М ва М₁ нуқталарда ўтказилган уринмалар билан Ойўқнинг мусбат йўналиши орасидаги бурчакларни a ва a+Da десак, уринмалар орасидаги бурчак Da бўлиб, М нуқтадаги нисбий эгрилик
ёки
га тенг бўлади.


Таянч иборалар.
Чизиқнинг эгрилиги, эгрилик формуласи, эгрилик радиуси, эгрилик айланаси, эгрилик маркази, эгрилик марказининг координаталари, эгриликнинг геометрик маъноси.