Чизиқли алгебра

Крамер усули
(3) тенгламалар системасини ечимини яна бир усули Крамер теоремасига асосланади.
Системанинг А матрицаси учун детерминант тузамиз:
,
бу системанинг асосий детерминанти дейилади. Бу детерминантнинг j – устуни элементларини озод ҳадлар билан алмаштириб, уни билан белгилаймиз:
.
Теорема (Крамер қоидаси). Детерминант , А матрицанинг асосий детерминанти бўлиб, - детерминант эса детерминантнинг j – устуни озод ҳадлар устунига алмаштирганда ҳосил бўлган детерминант бўлсин. У ҳолда, агар бўлса, (1) тенгламалар системаси ечимлари қуйидаги формулалардан аниқланади:
. (4)
Мисол. Тенгламалар системасининг ечимини топинг
.
Ечим. ва детерминантларни тузамиз ва ҳисоблаймиз

Система детерминанти нолдан фарқли бўлгани учун, (4) формула билан аниқланувчи ягона ечимга эга:
.

Гаусс усули
n ўзгарувчили m та тенгламадан иборат ва умумий кўриниши
(5)
тенгламалар системасини кўрамиз.
Бу система учун кенгайтирилган матрица қуйидагича тузилади:
.
Гаусс усули – ўзгарувчиларни кетма – кет ўчириш усули бўлиб, элементар алмаштиришлар ёрдамида тенгламалар системасини тенг кучли бўлган, бошқа зинапояли (ёки учбурчак) кўринишдаги тенгламалар системасига келтирилади.
Фараз қилайлик, (5) системада биринчи тенгламанинг ўзгарувчисининг коеффиценти .
1 – қадам. Биринчи тенгламани бирор сонга кўпайтириб ( ) (1) системанинг иккинчи, учинчи, ... - тенгламаларига қўшамиз, шунда иккинчи тенгламадан бошлаб, барча тенгламаларда ўзгарувчи қатнашмайди. Ҳосил бўлган

системада юқоридаги индекслар биринчи қадамдан кейин ҳосил бўлганини билдиради.
2 – қадам. Фараз қилайлик, . Иккинчи тенгламани ҳам бирор сонга кўпайтириб (айнан ) бошқа учинчи, тўртинчи, ..., - тенгламаларга қўшамиз, шунда (1) системада учинчи тенгламадан бошлаб кейинги тенгламаларда ўзгарувчи йўқолади.
Шу каби жараённи давом эттириб кетма-кет ўзгарувчиларни йўқотиб борсак - чи қадамдан кейин
(6)
системага эга бўламиз.
Охирги та тенгламадаги нол сонлари чап томон кўринишга эга эканлигини билдиради. Агар қийматлардан ҳеч бўлмаганда биттаси нолдан фарқли бўлса, у ҳолда қарама – қаршилик мавжуд ва (5) система биргаликда бўлмайди.
Шундай қилиб, ихтиёрий биргаликда бўлган система учун (6) системадаги сонлар нолга тенг бўлади. Ортиқча тенгламлар чиқариб ташлангандан кейин иккита ҳолат бўлиши мумкин: а) тенгламалар сони номаълумлар сонига тенг, (бу ҳолда (6) система учбурчак кўринишига эга); б) (бу ҳолда (6) система зинапоя кўринишига эга бўлади).
(5) системадан тенг кучли (6 ) системага ўтиш Гаусс усулининг тўғри ўтиши дейилади. (5) системадан ўзгарувчиларни топиш эса тескари ўтиш дейилади.
Мисол. Чизиқли тенгламалар системасини Гаусс усулида ечинг

Ечиш. Кенгайтирилган матрица тузиб, уни Гаусс усули билан ечамиз.

3 – қадамдан кейин кенгайтирилган матрицанинг охирги сатри ноллардан иборат бўлади. Система биргаликда ва охирги сатрни ўчирганимиздан кейин кенгайтирилган матрица, тўрт номаълумли учта тенгламадан иборат системага келади (матрицанинг рангги номаълумлар сонидан кичик). Бунда x₄ эркли ўзгарувчи,
.
Бу системадан Гаусс усулида тескари ўтиш қилсак

ҳосил бўлади.
Бу система чексиз кўп ечимга эга, чунки x₄ ихтиёрий қийматни қабул қилади.