Числовые ряды

Необходимый признак сходимости ряда

• Теорема

• Если ряд сходится то его n - й член стремится к нулю, при n стремящимся к бесконечности.

• Доказательство

• Рассмотрим ряд

• По условию ряд сходящийся:

• (1)

• Запишем ряд в виде:

• Sn-1

• Sn

• (2)

Необходимый признак сходимости ряда

• Вычтем из (1) - (2) почленно, получим:

• Следствие

• Если n -й член ряда не стремится к нулю, при то ряд расходится, если ,то ряд может сходится, может расходится.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

• Признак Даламбера

• Ряд с положительными членами: - для любого n

• Пусть дан ряд с положительными членами:

• Допустим существует предел:

• ряд сходится

• ряд расходится

• ?

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

• Исследовать на сходимость ряд:

• Пример

• ряд сходится

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

• Признак Коши

• Пусть дан ряд с положительными членами:

• Допустим существует предел:

• ряд сходится

• ряд расходится

• ?

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

• Исследовать на сходимость ряд:

• Пример

• ряд сходится

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

• Интегральный признак сходимости

• Пусть дан ряд с положительными членами

• , причем

• Пусть также f(x) - непрерывная монотонно убывающая функция, такая что f(n) = Un.

• Тогда данный ряд и интеграл

• одновременно сходятся и расходятся.