Числа. Числа разные нужны!

Алгебраические и трансцендентные числа.

• Действительные числа иногда подразделяются на алгебраические и трансцендентные.
• Алгебраическими называют числа, которые являются корнями алгебраических многочленов с целым коэффициентами. Так как каждое рациональное число p/q является корнем соответствующего многочлена первой степени с целым коэффициентом qx-p, то все трансцендентные числа иррациональны.

Комплексные числа

• Исторически комплексные числа впервые были введены в связи с выведением формулы вычисления корней кубического уравнения . Итальянский математик Никколо Фонтана Тартальей (1499 - 1557) в первой половине 16 века получил выражение для корня такого уравнения через некоторые параметры, для нахождения которых составляется система. Но было выяснено, что такая система не для всех кубических уравнений имела решение в действительных числах. Это непонятное на то время явление объяснил в 1572 году Рафаэль Бомбелли (1526 - 1572), что по сути было введением комплексных чисел и действий над ними. Но долгое время полученные результаты многими учеными считались сомнительными и лишь в 19 веке после появления трудов немецкого математика, механика, физика, астронома и геодезиста Карла Фридриха Гаусса (1777 - 1855) существование комплексных чисел стало общепризнанным.

4-ый уровень обобщения чисел.

• Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных , а затем из любых комплексных чисел, основания на следующей формуле английского математика А. Муавра:
• С помощью этой формулы можно было также вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг.
• Леонард Эйлер вывел в 1748 год замечательную формулу, которая связывало воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Эйлера можно было возводить чисто e в любую комплексную степень. Например, можно находить sin и cos комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел и т.д.