Chekli ayirmali approksimatsiyalar. Approksimatsiya xatoligi. Masalaning qo’yilishi va chekli ayirmali approksimatsiyalar

1.1. Oshkor sxema
Bu masalani chekli ayirmalar usuli bilan yechamiz. Buning uchun qadam bilan o’zgaruvchi bo’yicha, qadam bilan o’zgaruvchi bo’yicha quyidagi ko’rinishda to`r



.

nuqtalar fazo-vaqt to’ri tugunlarini hosil qiladi (1-rasm). , , kesmalarda yotuvchi tugunlar to’rning chegaraviy tugunlari deb ataladi, qolgan tugunlar esa ichki tugunlar deb ataladi. 1-rasmda chegaraviy tugunlar xochchalar, ichki tugunlar esa doiracha shaklida belgilangan.

1-rasm. fazo-vaqt to’ri

Qatlam deb vaqt bo’yicha bir xil koordinataga ega bo’lgan to’rning barcha tugunlari to’plamiga aytiladi. Shunday qilib -qatlam deb quyidagi tugunlar to’plamiga aytiladi



to’rda aniqlangan funktsiya uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz

(7)

Ba’zan yozuvni soddalashtirish uchun va indekslarni tashlab, ushbu belglashlarni kiritamiz , .

(1) tenglamani nuqtani approksimatsiya qilish uchun 2-rasmda tasvirlangan to’rtta tugundan iborat shablonni kiritamiz. hosilani nuqtada ayirmali munosabat bilan, hosilani esa ikkinchi ayirmali hosila bilan almashtiramiz. Tenglamaning o’ng tomonini taqriban to’r funktsiya bilan almashtiramiz, sifatida quyidagi ifodalardan birini olish mumkin:



2-rasm. Oshkor sxema uchun ayirmali sxema shabloni
Natijada quyidagi ayirmali tenglamani hosil qilamiz

(8)

bunda ayirmali tenglama berilgan differentsial tenglamani nuqtada bo’yicha birinchi tartib bilan va bo’yicha ikkinchi tartib bilan approksimatsiyalaydi. ayirma ham yuqoridagi tartibdagi kichiklikka ega.

Ayirmali sxema deganda asosiy differentsial tenglamani barcha ichki tugunlarda approksimatsiyalovchi ayirmali tenglamalar va chegaraviy tugunlarda approksimatsiyalanuvchi – qo’shimcha (boshlang’ich va chegaviy) shartlar majmui tushuniladi. Berilgan holda ayirmali sxema quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi

(9)

Bu sxema noma’lumlari soni tenglamalari soniga teng bo’lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat. Bunday sistemaning yechimi qatlamlar bo’yicha topiladi. Nolinchi qatlamdagi yechim boshlang’ich shartlarbilan beriladi. Agar qatlamda yechim topilgan bo’lsa, u holda qatlamda yechim quyidagi oshkor formula bilan topiladi

(10)

qiymatlar esa chegaraviy shartlardan oldindan aniqlanadi. Shu sababli (9) sxema oshkor ayirmali sxema deb ataladi. Keyinroq biz berilgan larda larni topish uchun tenglamalar sistemasini yechishni talab qiladigan oshkormas sxemalar bilan tanishamiz.

(9) ayirmali sxema xatoligi (6) masala yechimi bilan (4)-(6) berilgan masala yechimi orasidagi ayirma ko’rinishida aniqlanadi. (9) ga ni qo’yib, xatolik uchun quyidagi tenglamani hosil qilamiz

(11)

bu yerda – (4)-(6) masalani yechishda (6) ayirmali sxemaning approksimatsiya xatoligi, . (11) tenglama yechimi ni o’ng tarafi orqali baholash mumkin. Ammo hozir o’zgarmas koeffitsiyentli ayirmali sxemalarni tadqiq etishning keng tarqalgan usullaridan biri bo’lgan garmonik usul deb ataluvchi usul yordamida (9) sxema misolida qaraymiz. Garchi ushbu usul yetarlicha asoslanmagan bo’lsa ham, xususan, chegaraviy shartlar va o’ng taraf ta’sirini hisobga olmaydi, bu usul yordamida ayirmali sxemaning turg’unlik va yaqinlashish zaruriy shartlari oson topiladi. Masalan, (9) oshkor sxemani shartda qo’llash mumkin, bu esa vaqt bo’yicha qadamni yetarlicha kichik qilib olishni anglatadi.

(8) bir jinsli tenglamaga mos quyidagi tenglamani qaraymiz

(12)

(12) tenglamaning yechimini quyidagi ko’rinishda izlaymiz

(13)

bu yerda – mavhum birlik, – ixtiyoriy haqiqiy son va – esa aniqlanishi kerak bo’lgan son. (13) ni (12) tenglamaga qo’yamiz va ga qisqartib quyidagini hosil qilamiz

oxirgi tenglamaning yechimi ushbu ko’rinishda topiladi

(14)

(10) ko’rinishdagi yechimlarga (ular garmonikalar deb ataladi) mos boshlang’ich shartlar chegaralangan. Agar qandaydir uchun ko’paytuvchi moduli bo’yicha birdan katta bo’lsa, u holda (13) ko’rinishdagi yechim da cheksiz o’sadi. Bu holda (12) ayirmali tenglama turg’unmas deb ataladi, chunki yechimning boshlang’ich shartlardan uzluksiz bog’liqligi buziladi. Agar barcha haqiqiy lar uchun bo’lsa, u holda barcha (13) ko’rinishdagi yechimlar ning istalgan qiymatida chegaralangan bo’ladi va (12) ayirmali tenglama turg’un deb ataladi. Turg’unmas holda (9) ayirmali masalaning yechimini (10) formula bo’yicha toppish amalda mumkin emas, chunki boshlang’ich momentda yo’l qo’yilgan xatolik (masalan yaxlitlash xatoligi) ning oshishi bila cheksiz oshib boradi. Bunday ayirmali sxemalar turg’unmas ayirmali sxemalar deb ataladi.

(12) tenglama uchun tengsizlik (14) ga ko’ra faqat va faqat shartda bajariladi. Shunday qilib (9) sxemani faqat shart bajarilganda qo’llash mumkin. Faqat fazo bo’yicha va vaqt bo’yicha qadamlarga nisbatan qandaydir chegaralanganda turg’un bo’lgan ayirmali sxemalar shartli turg’un deb ataladi. Shunday ekan, (9) sxema shartli turg’un va turg’unlik sharti ko’rinishga ega. Parabolik turdagi tenglamalar uchun shartli turg’un sxemalar kam qo’llaniladi, chunki ular vaqt bo’yicha qadam bilan qat’iy chegaralangan. Haqiqatdan, masalan, bo’lsin. U holda qadam dan oshmasligi kerak, shu bilan birga da yechimni hisoblash uchun vaqt bo’yicha qadamlar sonini deb olish kerak, ya’ni (10) formula bo’yicha kamida ta hisoblash o’tkazish kerak. Keyingi bandda ko’plab oshkormas sxemalar bunday kamchilikka ega emasligi va ixtiyoriy va qadamlarda turg’un ekanligi ko’rsatiladi. Bunday sxemalar absolyut turg’un sxemalar deb ataladi.