Chegirmalar nazariyasi va uning ba’zi tatbiqlari

Aim.uz

Chegirmalar nazariyasi va uning ba’zi tatbiqlari

1.Chegirmalar va ularni hisoblash.
Faraz kilaylik, funksiya da golomorf bo’lib, a nuqta bu funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo’lsin.
1-Ta’rif. Ushbu

integral funksiyaning a nuqtadagi chegirmasi deyiladi va kabi belgilanadi:
.
Ravshanki, funksiya a nuqtada golomorf bo’lsa, bo’ladi.
Aytaylik, funksiya da golomorf bo’lsin.
2-Ta’rif. Ushbu

integral funksiyaning nuqtadagi chegirmasi deyiladi va kabi belgilanadi:
.
1-Teorema. Agar funksiya xalqada Loran qatori

ga yoyilgan bo’lsa, u holda
(18)
bo’ladi. Agar funksiya xalqada Loran qatori

ga yoyilgan bo’lsa, u holda
(19)
2-Teorema. (Chegirmalarning yigindisi haqidagi teorema). Agar funksiya to’plamda golomorf bo’lsa, u holda
(20)
bo’ladi.
Endi funksiya chegirmalarini hisoblashda foydalanadigan formulalarni keltiramiz.

1. 
   Agar nuqta funksiyaning birinchi tartibli qutb nuqtasi bo’lsa,
   

(21)
bo’ladi.

2. 
   Agar uchun funksiyalar a nuqtaga golomorf bo’lib, bo’lsa , u holda
   

(22)
bo’ladi.

3. 
   Agar nuqta funksiyaning n-tartibli qutb nuqtasi bo’lsa,
   

(23)
bo’ladi.

4. 
   Agar nuqtada funksiya golomorf bo’lsa,
   

(24)
bo’ladi.
5) Agar bo’lib, funksiya nuqtada golomorf bo’lsa,
(25)
bo’ladi.

2. Integrallarni chegirmalar yordamida hisoblash.

Chegirmalar yordamida turli integrallarni hisoblash mumkin. Bunda quyidagi teorema muhim rol o’ynaydi.
Teorema (Koshi teoremasi). Faraz qilaylik ,
1) funksiya sohada golomorf
2) funksiya sohaning chegarasigacha aniqlangan va da uzluksiz,
3) - to’g’rilanuvchi yopiq kontur bo’lsin. U holda
(26)
formula o’rinlidir.
Izoh. (26)-formula bo’lgan hol uchun ham o’rinlidir. Faqat bu holda ni uchun maxsus nuqta deb hisoblash hamda chiziq orientatsiyasini soat strelkasi yo’nalishida olish kifoyadir.
Yuqorida keltirilgan Koshi teoremasidan amaliyotda yopik kontur bo’yicha olingan integrallarni hisoblashda foydalaniladi.