Chebishev tipidagi kvadratur formulalar

Бир лoкaл интерпoляциoн кубик сплaйн функциянинг

C _a ,b _синфидa ҳaмдa C¹ _a,b_синфидa хaтoлигини бaҳoлaш

1. 
   Бир лoкaл интерпoляциoн кубик сплaйн функция хaтoликлaрини бaҳoлaшдa фoйдaлaнилaдигaн aйрим мaълумoтлaр вa синфлaр ҳaқидa
   

Интерполяцион кубик сплайн функцияни хатолигини баҳолашда фойдаланилган қуйидаги маьлумотларни киритамиз:

[ab] кесмада
  a  x₀  x₁    x_N  b
тўр тугун нуқталари берилган

^{бўлсин. P}_m ^{ даражаси} m ^{дан юқори бўлган кўпҳадлар тўплами, ва}
C^k  C^k [ab]  k -тартибли ҳосиласи узлуксиз бўлган функциялар синфи.

C^1[ab]  биринчи тур узилиш нуқталарига эга бўлакли узлуксиз

функциялар синфи.

Интерполяция масаласи ҳисоблаш математикасида кенгроқ тарқалган нормаланган фазо ва синфлардан бўлган функциялар учун қаралади.

C[a,b]
[a,b]
да узлуксиз функциялар фазосининг нормаси

f (x)

C[a,b]
 max
x[a,b]
f (x) .

кўринишда аниқланади. Функцияларнинг  тўрга боғлиқ бўлмаган характеристикаси бўлиб, узлуксизлик модули

( f ;h) 

хизмат қилади.

max |
x ',x ''[a,b], |x 'x ''|h
f (x '') 
f (x ') |,
h  b  a.

Ўлчовли
f (x)
функция [a,b]
да чегараланган, агар шундай 

мавжудки, |
f (x) | 
ни қаноатлантирадиган нуқталар тўплами нолга тенг.

Шу хоссага эга бўлган  ларнинг енг кичиги
esssup|
x[a,b]
f (x) |
каби

белгиланади.
L_[a,b]
қуйидаги нормага эга ўлчовли ва чегараланган

функциялар фазоси

f (x)

L_ [a,b]

 esssup| f (x) |.

x[a,b]

Барча узлуксиз функциялар учун ўрта қиймат ҳақидаги теореманинг

кейинги вариантидан фойдаланамиз.
a  x₁  x₂    x_k  b
ва ₁ ,
₂ ,
₃ ,

_k катталиклар бир хил ишорали бўлсин ҳамда
f (x) C[ab]. У ҳолда

₁ f (x₁)  ₂ f (x₂ )  _k f (x_k )  (₁  ₂    _k ) f ( )
a    b (3.1.1)

x
^{Шунингдек, мос равишда} f (x) W^r [ab] ^ва бўлган Тейлор ѐйилмаси
f (x) C^r [ab]
ларда ўринли

f (x) 
f ^(r1) (a)(x  a)^r1
f (a)    
¹ _ (x  v)^r1 f ^{(r )} (v)dv
(3.1.2)

ѐки
(r 1)

f ^(r1) (a)(x  a)^r1
(r 1) _a

f ^{(r )} () _r

f (x) 
f (a)    
(r 1)
(x  a) 
r
a    x
(3.1.3)

дан фойдаланамиз ҳамда қуйидаги Гѐлдер тенгсизлиги ҳам бизга керак бўлади

b

f (x)
_  f (x)    g(x)  dx 
a
L[ab]
g(x) _ . (3.1.3а)

1. 
   Таъриф.
   

f (t)
функция [ab]
да  кўрсаткичли ва K

константали Гѐлдер шартини қаноатлантиради (қисқача

f (t)  H ^ ([ab] K)
ѐки
f (t)  H ()
деб белгиланади), агарда шу кесмага

тегишли ихтиѐрий t^ ва t^ лар учун қуйидагига эга бўлсак
 f (t^)  f (t ^)  K  t^  t ^ ^ 

бунда K ва   мусбат сонлар, 0   1 Агар  кўрсаткич бизни

қизиқтирмаса, у ҳолда
f (t)
функция [ab]
кесмада H шартни

қаноатлантиради деймиз ва
f (t)  H деб ѐзамиз.

Шунга эътибор берамизки, агар
f (t)  H ()
бўлса у ҳолда

 f (t)  H ()
бўлади.

Бўлакли силлиқ L эгри чизиқ бўйича Коши ядроли сингуляр интеграл таърифини эслатиб ўтамиз.

2. 
   Таъриф. x₀
   

нуқта L эгри чизиқнинг ҳеч бир охири билан

устма-уст тушмасин, яъни L нинг ички нуқтаси бўлсин. Маркази x₀ да

бўлган шунчалик кичик
  0
радиусли айлана чизамизки у L ни роппа

роса иккита x^ x ^
Кейинги интеграл
нуқталарда кессин. орқали x^ x ^
ѐйни белгилаймиз.


(x)dx _
L‚ x  x₀
ни қараймиз. Агар   0 да бу интеграл чекли лимитга интилса, у ҳолда бу лимит Коши бўйича интегралнинг бош қиймати бўлади, яъни

lim _
(x)dx _{ } (x)dx _
[25]

 0
L‚
x  x_{0 L} x  x₀

^{( )} ( ) ^{( )} ( ) (2.4.3)