Buzilish chizigʼigа egа boʼlgаn elliptik vа giperbolik tipdаgi tenglаmаlаr hаqidа mа’lumotlаr

---

Buzilish chizigʼigа egа boʼlgаn elliptik vа giperbolik tipdаgi 
tenglаmаlаr hаqidа mа’lumotlаr 
 
Shahlo Shavkatovna Sayfullayeva 
Byxoro davlat universiteti 
 
Аnnotatsiya:
Maqolada buzilish chizigʼiga ega boʼlgan elliptik va giperbolik 
tipdagi tenglamalar va ularning amaliyot bilan bogʼliqligi haqida tahliliy maʼlumotlar 
bayon qilingan. Buzilish chizigʼining tenglamalar uchun qoʼyiladigan chegaraviy va 
boshlangʼich masalalar xususiyatiga taʼsiri hamda kanonik koʼrinishga keltirilishi 
tahlil qilinib, baʼzi jihatlari yoritilgan. 
Kalit soʼzlar: 
Elliptik tip, giperbolik tip, buzilish chizigʼi, kanonik koʼrinish, 
chegaraviy masalalar, xarakteristika, kvadratik forma. 
Information on the equations of the elliptic and hyperbolic 
type with a line of distortion 
 
Shahlo Shavkatovna Sayfullayeva 
Bukhara State University 
 
Abstract: 
The article describes the analytical data on the equations of the 
elliptic and hyperbolic type with a line of distortion and their association with 
practice. The influence of the distortion line on the nature of the boundary and initial 
problems posed for the equations, as well as their canonical appearance, are analyzed 
and some aspects are highlighted. 
Keywords:
elliptical type, hyperbolic type, distortion line, canonical view, 
boundary issues, characteristic, quadratic form. 
Hozirgi zamon texnika asri hisoblanib, uning tez rivojlanishi barcha aniq fanlar 
oldiga yangidan-yangi katta vazifalar qoʼyishni boshladi. Shuning uchun oddiy 
differentsial tenglamalar, xususiy xosilali differensial tenglamalar sohasini 
rivojlantirishda eʼtiborni kuchaytirishni talab qilmoqda. Bunga asosiy sabab texnik 
masalalarni hal qilish uchun yangi chegaraviy masalalarni yechish usullarini 
takomillashtirish va ularning amaliy tadbiqlarini taʼminlash zarur boʼlmoqda. 
Differensial tenglamalarga keltiriladigan fizik, mexanik, texnik masalalardan 
tashqari, ekologiya, biologiya, meditsina, kimyo va boshqa fanlarning ham amaliy 
masalalarining matematik modellari oddiy va xususiy hosilali differentsial 
tenglamalarga keltiriladi. Bunda tenglamalar uchun korrekt qoʼyilgan chegaraviy 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
March 2022 / Volume 3 Issue 3
www.openscience.uz
38

---

masalalarni oʼrganish zaruriyati dolzarb hisoblanadi. Yuqoridagi aytilgan masalalar 
ikkinchi tartibli xususiy hosilali differentsial tenglamalarni, shu jumladan buzilish 
chizigʼiga ega boʼlgan elliptik va giperbolik tipdagi tenlamalarni oʼrganish zarurligini 
namoyon qiladi. 
Buzilish chizigʼiga ega elliptik tipdagi tenglamalar deb masala qaralayotgan 
sohaning ichida tenglama elliptik tipga, soha chegarasining bir qismi yoki 
chegaraning oʼzida boshqa tipga tegishli boʼlgan tenglamalarga aytiladi. Tip 
oʼzgaradigan chiziqqa buzilish chizigʼi deyiladi. Bu chiziqda tenglama parabolik 
tipga tegishli yoki aniqlanmagan boʼlishi mumkin. 
Shu oʼrinda aytish joizki, Oʼzbekiston Respublikasi Prezidentining 2020 yil 7 
maydagi PQ-4708-sonli «Matematika sohasidagi taʼlim sifatini oshirish va ilmiy-
tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari toʼgʼrisida» qarorida matematika 
sohasidagi ilmiy-tadqiqotlarning ishlab chiqarish bilan uzviy bogʼliqligini taʼminlash, 
amaliy matematikani rivojlantirish va iqtisodiyot tarmoqlaridagi muammolarni 
modellashtirish asosida matematik yechimlarni ishlab chiqish topshiriqlari 
belgilangan. 
Koʼplab amaliy xarakterdagi muhim masalalarni hal qilishda, xususan, gaz 
dinamikasida, sirtlarning cheksiz kichik egilishlari nazariyasi, qobiqlarning 
momentsiz nazariyasiga oid masalalar matematik fizikaning buzilish chizigʼiga ega 
boʼlgan elliptik tipdagi tenglamalar sohasidagi masalalarga olib kelishini inobatga 
olsak, bu sohani oʼrganish dolzarb ekanligi namoyon boʼladi. Shu sababli ham 
bunday tenglamalar uchun chegaraviy masalalar oʼrganish koʼplab xorijiy va oʼzbek 
olimlarini eʼtiborini tortmoqda. 
Zamonaviy fanning rivojlanishi shuni koʼrsatadiki, buzilish chizigʼiga ega 
boʼlgan elliptik va giperbolik tipdagi tenglamalar haqiqiy fizik va biologik 
jarayonlarning samarali matematik modelidir. Bu esa oʼz navbatida koʼplab xorijiy va 
oʼzbek olimlari tomonidan fundamental tadqiqotlar mavzusi boʼlgan turli xil 
chegaraviy muammolarni belgilash va hal qilishning dolzarbligiga olib kelmoqda. 
Elliptik tenglamalar nazariyasining markaziy muammolari yechimlarning 
silliqligi (cheksiz differensialanuvchilik va yechimlarning analitiklik xususiyati) va 
chegaraviy masalalar nazariyasi hisoblanadi. Bu muammolar Gilbertning yigirmata 
muammosidan ikkitasi bilan bogʼliqligi ham bejiz emas. Oʼtgan asrning ikkinchi 
yarmida chiziqli va chiziqli boʼlmagan bitta buzilish chizigʼiga ega boʼlgan elliptik 
tenglamalar nazariyasida ajoyib natijalarga erishilgan [1-4].
Ikkita buzilish chizigʼiga ega boʼlgan elliptik tipdagi tenglamalar nazariyasi 
oʼzbek olimlari akademik M.S.Salohitdinov, professorlar B.Islomov, А.K.Oʼrinov va 
ularning oʼquvchilari tomonidan rivojlantirilib, keng nazariy va amaliy ahamiyatga 
ega boʼlgan natijalar olingan (adabiyotlar roʼyxati bilan [5] monografiyada tanishish 
mumkin).
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
March 2022 / Volume 3 Issue 3
www.openscience.uz
39

---

Endi quyidagi ikkinchi tartibli ikki oʼzgaruvchili xususiy hosilali differensial 
tenglamani qaraylik: 
𝐴(𝑥, 𝑦)
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
+ 2𝐵(𝑥, 𝑦)
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝐶(𝑥, 𝑦)
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑦
2
+ Ф (𝑥, 𝑦, 𝑢,
𝜕𝑢
𝜕𝑥
,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
) = 0, (1)
Bu yerda 
𝐴(𝑥, 𝑦) , 𝐵(𝑥, 𝑦) 
va 
𝐶(𝑥, 𝑦)
lar yopiq 
𝐷
sohada uzluksiz funksiyalar. 
Faraz qilamiz, 
𝐴(𝑥, 𝑦) , 𝐵(𝑥, 𝑦) 
ва 
𝐶(𝑥, 𝑦)
funksiyalar yopiq 
𝐷 
sohada bir vaqtning 
oʼzida nolga aylanmaydi va ikkinchi tartibgacha uzluksiz xususiy hosilalarga ega. 
Ushbu tenglamaning xarakteristik tenglamasi chiziqli boʼlmagan 
𝐴 (
𝜕𝜔
𝜕𝑥
)
2
+ 2𝐵
𝜕𝜔
𝜕𝑥
𝜕𝜔
𝜕𝑦
+ 𝐶 (
𝜕𝜔
𝜕𝑥
)
2
= 0 (2)
tenglamadan iboratdir. 
Agar 
𝜔(𝑥, 𝑦)
funksiya (2) tenglamani yechimi bo’lsa, u holda 
𝜔(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
egri chiziq tenglamani xarakteristikasi boʼladi. Bu xarakteristika atrofida 
𝜕𝜔
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝜔
𝜕𝑦
𝑑𝑦 = 0
 
yoki
𝜕𝜔
𝜕𝑥
:
𝜕𝜔
𝜕𝑦
= 𝑑𝑦: (−𝑑𝑥)
Munosabat bajariladi. 
(2) tenglamada 
𝜕𝜔
𝜕𝑥
:
𝜕𝜔
𝜕𝑦
nisbatni 
𝑑𝑦: (−𝑑𝑥)
ga almashtirsak, quyidagi
𝐴𝑑𝑦
2
− 2𝐵𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝐶𝑑𝑥
2
= 0 (3)
oddiy differensial tenglamaga ega boʼlamiz. Ushbu (3) tenglik bilan aniqlangan 
(𝑑𝑦, 𝑑𝑥)
yoʼnalish odatda xarakteristik yoʼnalish deyiladi. 
Agar 
𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
oddiy differentsial tenglamani integrali boʼlsa, 
𝜔(𝑥, 𝑦)
funktsiya xarakteristik tenglamani qanoatlantiradi. 
𝐴𝑑𝑦
2
− 2𝐵𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝐶𝑑𝑥
2
kvadratik forma aniqlangan (musbat yoki manfiy), ishorasi oʼzgaruvchan yoki 
yarim aniqlangan (buzilgan) boʼlishiga qarab, qaralayotgan (1) tenglama elliptik, 
giperbolik 
yoki 
parabolik 
tipga 
tegishli 
boʼladi. 
Shunga 
muvofiq
𝐴𝑑𝑦
2
− 2𝐵𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝐶𝑑𝑥
2
kvadratik formaning diskriminanti 
𝐵
2
− 𝐴𝐶
noldan kichik 
boʼlsa, tenglama elliptik, nolga teng boʼlsa parabolik va noldan katta boʼlsa 
giperbolik tipga tegishli hisoblanadi. 
Faraz qilamiz, parabolik chiziq, yaʼni tenglalamani parabolik tipga aylantiruvchi 
chiziq - 
𝛾
giperbolik tipga tegishli boʼlgan tenglamaning xarakteristi-kalariga 
urinmaydi, yaʼni 
𝛾
chiziq bo’ylab 
𝐴𝑑𝑦
2
− 2𝐵𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝐶𝑑𝑥
2
≠ 0
bo’lsin. Bu holda 
𝛾
chizigʼi giperbolik tipdagi tenglamaning xarakteristikalarining qaytish nuqtasi 
boʼladi. 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
March 2022 / Volume 3 Issue 3
www.openscience.uz
40

---

Ikkinchi holda esa parabolik chiziq 
𝛾
ning har bir nuqtasida tenglamaning 
xarakteristik yoʼnalishi bilan ustma-ust tushadigan urinma boʼlsin. Bu 
𝛾
chiziq 
bo’ylab 
𝐴𝑑𝑦
2
− 2𝐵𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝐶𝑑𝑥
2
= 0
ekanligini bildiradi, yaʼni 
𝛾
chizigʼi 
giperbolik tipdagi tenglamaning bir vaqtning oʼzida xarakteristikasi ham 
(xarakteristik tenglamalarning oʼrovchi oilasi) boʼladi. Birinchi holda tenglama 
birinchi tur giperbolik tipga, ikkinchi holda ikkinchi tur giperbolik tipga tegishli 
deyiladi. Kelgusi biz asosan birinchi tur giperbolik tipga tegishli boʼlgan 
tenglamalarni qaraymiz. 
Masalan, (1) tenglamaning xususiy holi boʼlgan ikkita buzilish chizigʼiga ega 
boʼlgan elliptik tipga tegishli quyidagi tenglamani koʼrib chiqaylik: 
𝑦
𝑚
𝑈
𝑥𝑥
+ 𝑥
𝑚
𝑈
𝑦𝑦
= 0,
𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑚 > 0. (4)
Bu tenglama qaralayotgan sohada 
(𝑥 > 0, 𝑦 > 0)
elliptik tipga tegishli boʼladi. 
(4) tenglamani kanonik koʼrinishga keltirishni barcha hisoblashlarini batafsil bayon 
qilamiz.
Eng avvalo xarakteristik tenglamani tuzib olamiz [1,3]: 
𝑦
𝑚
𝑑𝑦
2
+ 𝑥
𝑚
𝑑𝑥
2
= 0.
Bundan
(𝑦
𝑚
2
𝑑𝑦 + 𝑖𝑥
𝑚
2
𝑑𝑥) (𝑦
𝑚
2
𝑑𝑦 − 𝑖𝑥
𝑚
2
𝑑𝑥) = 0 ⇒
2
𝑚+2
𝑦
𝑚+2
+ 𝑖
2
𝑚+2
𝑥
𝑚+2
= 𝐶
1
;
2
𝑚+2
𝑦
𝑚+2
− 𝑖
2
𝑚+2
𝑥
𝑚+2
= 𝐶
2
.
Elliptik tenglamalar nazariyasiga koʼra, 
{

=
2
𝑚+2
𝑥
𝑚+2
2
,

=
2
𝑚+2
𝑦
𝑚+2
2
deb olamiz.
Endi birinchi tartibli hosilalarni hisoblaymiz. Birinchi tartibli hosilalar: 
𝑈
𝑥
= 𝑈

𝑥
𝑚
2
, 𝑈
𝑦
= 𝑈

𝑦
𝑚
2
. 
Ikkinchi tartibli hosilalarni hisoblaymiz va mos ravishda ularni 
𝑦
𝑚
va 
𝑥
𝑚
ko’paytirib, (4)tenglamaga eltib qo’yamiz: 
𝑈
𝑥𝑥
= 𝑈
 
𝑥
𝑚
+ 𝑈

𝑚
2
𝑥
𝑚−2
2
,
𝑈
𝑦𝑦
= 𝑈
 
𝑦
𝑚
+ 𝑈

𝑚
2
𝑦
𝑚−2
2
.
Tegishli hisoblashlarni amalga oshirsak (4) tenglama quyidagi kanonik 
koʼrinishga ega boʼladi: 
𝑈
 
+𝑈
 
+
2𝛽

𝑈

+
2𝛽

𝑈

= 0,
bunda 
2𝛽 = 𝑚 (𝑚 + 2).
⁄
Аgar (4) tenglamaning bosh hadlarining oldidagi koeffitsientlar nolga 
aylanuvchi funksiyalar boʼlgan boʼlsa, xarakteristik koordinatalarda esa tenglamaning 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
March 2022 / Volume 3 Issue 3
www.openscience.uz
41

---

birinchi tartibli hosilalari oldidagi koeffitsientlar maxsuslikka ega boʼlgan 
funksiyalarga aylangan. 
Buzilish chizigʼiga ega boʼlgan elliptik tenglamalarning oʼziga xos xususiyati 
shundaki, bu kabi tenglamalar uchun tenglama tipini oʼzgartiradigan chiziqda 
chegaraviy shart qoʼyilmaydi yoki chegaraviy shartlar «vaznli» funktsiyalar orqali 
beriladi [3]. 
Yuqorida keltirilgani kabi ikkita buzilish chizigʼiga ega boʼlgan giperbolik tipga 
tegishli ikkinchi tartibli xususiy hosilali differentsial tenglamani qaraylik. 
−(−𝑦)
𝑚
𝑈
𝑥𝑥
+ 𝑥
𝑚
𝑈
𝑦𝑦
= 0, 𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 > 0. (5)
Ω − 
qaraloyotgan soha 
𝑦 = 0
o’qining 
𝑂𝐴
kesmasi va tenglamaning 
𝑂𝐷: 𝑥 +
𝑦 = 0,
𝐷𝐴: 𝑥
𝑝
+ (−𝑦)
𝑝
= 1,
2𝑝 = 𝑚 + 2
xarakteristikalari bilan chegaralangan 
boʼlsin. 
(5) tenglamada 
Ω
sohaning ichida giperbolik tipga tegishli, chunki bunda 
𝐵
2
−
𝐴𝐶 > 0
. 
𝑂𝐴
kesmada 
𝐵
2
− 𝐴𝐶 = 0
boʼlib, tenglamaning tipi sohaning chegarasida 
parabolik tipga tegishli. Shu sababli 
𝑂𝐴
kesma (5) tenglamaning buzilish chizigʼi 
deyiladi. Bu yerda (5) tenglama ikkita buzilish chizigʼiga ega deyilishiga sabab, 
uning 
𝑈
𝑦𝑦
xadining koeffitsienti ham koordinatalar boshida, yaʼni
𝑥 = 0
da nolga 
aylanishi hisoblanadi. 
(5) tenglamaning xarakteristikalari 
√𝜉 = 𝑥
𝑝
− (−𝑦)
𝑝
, √𝜂 = 𝑥
𝑝
+ (−𝑦)
𝑝
boʼlib, ushbu oʼzgaruvchilarda tenglama quyidagi koʼrinishga ega boʼladi: 
𝑈
𝜉𝜂
−
𝛽
𝜂 − 𝜉
(𝑈
𝜂
− 𝑈
𝜉
) = 0.
(4) elliptik tenglamani kanonik ko’rinishi kabi (5) tenglamaning bosh 
hadlarining oldidagi koeffitsiyentlar nolga aylanuvchi funksiyalar bo’lgan bo’lsa, 
xarakteristik koordinatalarda esa tenglamaning birinchi tartibli hosilalari oldidagi 
koeffisiyent maxsuslikka ega bo’lgan funksiyalarga o’tgan. 
Aytish joizki, buzilish chizig’iga ega bo’lgan elliptik tipdagi tenglamalarning 
o’ziga xos xususiyati kabi, buzilish chizig’iga ega bo’lgan giperbolik tenglamalar 
ham o’ziga xos xususiyatga ega. Ular uchun qo’yilgan Koshi masalasi doimo ham 
korrekt bo’lavermaydi. Ikkinchi tur giperbolik tipdagi tenglama uchun masala 
odatdagidek qo’yilsa, uning yechimi mavjud bo’lmasligi mumkin. Shuning uchun bu 
kabi tenglamalar uchun ko’rinishi o’zgartirilgan Koshi masalasi (tenglama tipini 
o’zgartiradigan chiziqda boshlang’ich shartlar «vaznli» funksiyalar orqali beriladi) 
o’rganiladi [3-12]. 
Shu mavzuga bag’ishlangan maqolalarni o’rganish, tahlil qilish va amaliyotda 
qo’llashni osonlashtirish uchun boshlang’ich ma’lumotlarga doir yo’riqnomalar 
berilgan maqolalarni [13-15] o’rganish tavsiya qilinadi. Mazkur yo’nalishdagi ilmiy 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
March 2022 / Volume 3 Issue 3
www.openscience.uz
42

---

ishlarning amaliy tadbiqlariga bag’ishlangan bir qator maqolalarda [16-25] biologik 
jarayonlarni ifodolovchi differensial tenglamalar va kvant mexanikasida differensial 
operatorlar yordamida aniqlanadigan standart (uzluksiz) Shryodinger operatorlari 
bilan bog’liq masalalar tahlil qilingan.
Ikkita buzilishi chizig’iga ega bo’lgan elliptik, giperbolik va aralash tipdagi 
tenglamalarning amaliy ahamiyati keng bo’lib, mazkur yo’nalishda bir qator ijobiy 
nazariy natijalarga olingan [26-30].