Buxoro muhandislik -texnologiya instituti

Elementar oqimcha uchun uzluksizlik tenglamasi

Yuqorida aytib o’tilganidek, gidravlikada suyuqliklar tutash muhitlar deb ataladi (ya`ni harakat fazosining istalgan nuqtasida suyuqlik zarrachasini topish mumkin). Elementar oqimcha va oqim uchun uzluksizlik tenglamasi suyuqlik tutash oqimining matematik ifodasi bo’lib xizmat qiladi. Suyuqlikning barqaror harakatini ko’rib chiqamiz.

4 - rasm. Tezlik epyurasi (punktir chiziq) va o’rtacha tezlik (tutash chiziq): a- trubalarda, b- kanallarda.
Elementar oqimcha uchun uzluksizlik tenglamasini chiqaramiz. Oqimda harakat o’qi bo’lgan elementar oqimchani olib, uning 1-1 va 2-2 kesimlar orasidagi bo’lagini tekshiramiz (5 - rasm). 1-1 kesimning yuzasi ning tezligi , 2-2 kesimning yuzasi ning tezligi bo’lsin va bu kesimlarda tegishli elementar sarflar ga teng bo’lsin.



5 - rasm. Uzilmaslik tenglamasiga doir chizma.
Bu holda 1-1 va 2-2 kesimlar orqali o’tuvchi bu elementar sarflar
(4)
bo’ladi. Buni isbotlash uchun quyidagi ikki holni ko’ramiz:
1. bo’lsin. Bu holda 1-1 va 2-2 kesimlar o’rtasida suyuqlik to’planishi yoki elementar oqimcha devorlari orqali tashqariga chiqishi mumkin degan xulosa chiqadi. Yuqorida aytilganidek, elementar oqimcha devoridan suyuqlik o’tmaydi va elementar oqimchaning ko’ndalang kesimlari o’zgarmasdir. Demak, bu taxmin notug’ri ekanligi ko’rinib turibdi.
2. bo’lsin. Bu holda 1-1 va 2-2 kesimlar orasiga qayerdandir suyuqlik qo’shilib turishi yoki elementar oqimcha devori orqali ichqariga o’tib turishi kerak. Yuqoridagiga asosan bunday taxmin ham noto’g’ri ekanligi ko’rinadi. Shunday qilib (4) tenglik to’g’ri ekanligi isbotlandi.
Elementar sarflar tengligidan
(5)
ekanligi kelib chiqadi.

1. 
   va 2-2 kesimlar ixtiyoriy tanlab olinganligi uchun elementar oqimchaning xoxlagan kesimi uchun elementar sarf teng bo’ladi, ya`ni
   

(5) tenglama elementar oqimcha uchun uzluksizlik tenglamasi deb ataladi. Bu tenglamadan ko’rinib turibdiki, elementar oqimchaning barcha kesimlarida elementar sarf bir xildir. (5) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Bundan elementar oqimchaning ixtiyoriy ikkita kesimidagi tezliklar bu kesimlar yuzasiga teskari proportsional ekanligi kelib chiqadi.
Oqim uchun uzluksizlik tenglamasini chiqaramiz. Bu maqsadda elementar oqimcha uchun olingan uzluksizlik tenglamasidan foydalanamiz. Oqim sarfi cheksiz ko’p elementar oqimchalar sarflari yig’indisidan iborat ekanligini nazarga olib, (5) tenglamaning chap va o’ng qismini va yuzalar (5 - rasm) bo’yicha olingan integrallar bilan almashtiramiz:

(1) tenglama asosan

bo’ladi. Shuning uchun
(6)
Tanlab olingan 1-1 va2-2 kesmalar ixtiyoriy bo’lgani uchun

Bu oqim uchun uzluksizlik tenglamasidir. Bu tenglamadan ko’rinadiki, oqimning yo’nalishi bo’yicha ko’ndalang kesimlar yuzasi va tezligi o’zgarib boradi. Lekin sarf o’zgarmaydi. (6) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

ya`ni oqimning ko’ndalang kesimidagi o’rtacha tezlik tegishli kesimlar yuziga teskari proportsionaldir.