Butunlik sohasi. Maydon. Jism

Butunlik sohasi. Maydon. Jism.

1. 
   Butunlik soxasi, maydon va jism tushunchalari.
   

Mavzu bayoni.

Kirish. Xalqa va uning hususiy hollari bŏlmish maydon va jism tushun-chalari ham oldingi ma’ruzada urganilgan gruppa singari algebraning xususiy hollaridir. Gruppada biz bitta binar amal bilan ish kŏrgan edik. Endi biz bŏsh bŏlmagan A tŏplamda ikkita binar (biz ularni kŏpaytirish va qŏshish amallari deb ataymiz) aniqlangan deb qaraymiz. Xalqa tushunchasini ilk bor Dedekind kiritgan.

Asosiy qism.

Ta’rif: A tŏplam xalqa deyiladi, agar u quyidagi shartlarga buysinsa:

1) A - additiv abel gruppa;

2) A da kŏpaytirish amali aniqlangan bŏlib, unga nisbatan A - yarimgruppa;

( ya’ni (a,b,sA) a(bs)=(ab)s)

3) Shŏpaytirish amali kŏshish amaliga nisbatan distributiv amaldir ( ya’ni (a,b,sA)(a+b)s=as+bs, s(a+b)=sa+sb.)

Agar A dagi kŏpaytirish amali kommutativ bŏlsa (ya’ni (a.bA) uchun ab=ba tenglik ŏrinli bŏlsa) u holda A xalqaga kommutativ xalqa deyiladi. Agar A da birlik element mavjud bŏlsa, u holda A xalqaga birli xalqa deyiladi. Agar A tŏplam chekli bŏlsa,u holda xalqa chekli, aks holda cheksiz deyiladi. A dagi nol’ element A xalqaning nol’ elementi deyiladi. Agar A tŏplamning elementlari sonlardan iborat bŏlsa, u holda A xalqa sonli xalqa deyiladi. Ravshanki, ixtiyoriy sonli xalqa kommutativ xalqa bŏladi.

Misollar (tekshiring).

1. 
   
   {0} – nol’ –xalqa.
   
2. 
   
   Z, Q – butun va ratsional sonlar xalqalari.
   
3. 
   
   C[a,b] - [a,b] segmentda uzluksiz bŏlgan sonli funktsiyalar xalqasi.
   
4. 
   
   tZ – t Zg’{1,-1} soniga karrali bŏlgan butun sonlar xalqasi.
   

5) Q [ ]={a+b / aQ , bQ}

Yuqorida keltirilgan 1)-7) misollardagi xalqalar asosiy xossalari qŏyidagi jadvalda keltirilgan:

Xalqa	Kommutativligi	Birlik element mavjudligi	Teskarilanuvchi elementlar
{0}	Kommutativ xalqa	1=0	0 ^–1=0
Z	Kommutativ xalqa	1	Faqat 1 va –1 sonlar
Q	Kommutativ xalqa	1	Noldan farqli sonlar
R	Kommutativ xalqa	1	Noldan farqli sonlar
C[a,b]	Kommutativ xalqa	[a,b] da qiymati 1 ga teng bŏlgan funktsiya.	[a,b] da nol’ qiymat qabul qilmaydigan funktsiyalar
tZ	Kommutativ xalqa	Mavjud emas	Ma’noga ega emas.
Q [ ]	Kommutativ xalqa	1=1+0	Noldan farqli elementlar

Eslatma. Shuni ta’kidlash lozimki, agar birli xalqada 10 shart bajarilsa, u holda nol’ element teskarilanuvchi bŏla olmaydi, chunki  b uchun 0bh0 1 . Bundan tashqarir, 10 munosabat xalqaning elementlar soni birdan katta bŏlishiga teng-kuchli, chunki a  A g’{0}  (a1=a0 )  (a0=0 ) munosabat ŏrinli. Shuning uchun keyingi mulohazalarimizda biz xalqa nolmas xalqa deb faraz qilamiz.

A xalqada a,bA a-b=a+(-b) tenglik yordamida ayirish amalini kiritamiz.

1-teorema. a) Kŏpaytirish amali ayirish amaliga nisbatan distributiv bŏladi, ya’ni (a,b,sA) (a-b)s=as-bs, s(a-b)=sa-sb munosabatlar ŏrinli bŏladi.

b) aA a0=0a=0.

Isbot. a). (a,b,sA) (a-b)s+bs=((a-b)+b)+s=as ((a-b)s+bs)- bs= as-bs, ya’ni

(a-b)s=as-bs. s(a-b)=sa-sb tenglik xuddi shunday isbot qilinadi.

b). a) ga kŏra a0= a(b - b)= ab- ab=0, 0a= (b - b)a= ba- ba=0.

Ta’rif. ab=0 munosabatni qanoatlantiruvchi nolmas a, b elementlar nolning bŏluvchilari deyiladi.

2-teorema . Birli xalqada teskarilanuvchi element nolning bŏluvchisi bŏla olmaydi.

Isbot. a- teskarilanuvchi bŏlib, u uchun ab=0 tenglikni qanoatlantiradigan noldan farqli b element mavjud bŏlsin.

ab=0 tenglikka asoslanib va a^–1(ab)= b tenglikdan foydalanib b=0 ziddiyatli tenglikka kelamiz. Bu esa teoremani isbotlaydi.

Sonli xalqalar nolning bŏlyvchilari mavjud emas, ammo [a,b] da f(x) = x+ x,

g(x)= x - x tengliklar yordamida aniqlangan C[a,b] xalqa elementlari nolning bŏluvchilari bŏladi, chunki f(x) g(x) =( x+ x) ( x - x) =  x ² - x² = 0.

Butunlik sohasi, maydon va jism tushunchalari.

Ta’rif. Nolning bŏluvchilariga ega bŏlmagan A kommutativ xalqa butunlik sohasi deyiladi.

Ta’rif. A birli kommutativ xalqada har bir noldan farqli elementi teska-rilanuvchi bŏlsa, u holda A kommutativ xalqa maydon deyiladi.

Ushbu ta’rifdan va yuqorida keltirilgan jadvaldan foydalansak Q , R ,

Q [ ] xalqalarni maydon bŏlishiga amin bŏlamiz.

Ta’rif. Sonlardan iborat bŏlgan maydon sonli maydon deyiladi.

Eslatma. 2-teoremaga kŏra ixtiyoriy maydonda nolning bŏluvchilari yŏq, demak u butunlik sohasi.

Ta’rif. a va b 0 F maydon elementlari bŏlsin. a sŏratli va b maxrajli kasr deb maydonning ab^-1 kŏrinishdagi elementiga aytiladi va u  orqali belgila-nadi.

3-teorema (kasrlar ustida amallar). F maydonda qŏyidagi xossalar ŏrinli:

(a) kasrning asosiy xossasi: (c0)  ; (b) kasrlarni qŏshish qoidasi:  ,  ; (v) kasrlarni qŏpaytirish qoidasi :  ;

(g) , agar ab  0.

Isbot. (a) Xaqiqatan,  = (ac)(bc)^-1 = acc^-1b = ab^-1 =  .

(b)  = (a + c)b^-1 = ab^-1 + cb^-1 =  bŏlgani uchun (a) ga kŏra  bŏladi.

Sholgan hollar xuddi shunday tekshiriladi.

Maydon tushunchasini umumiy holga umumlashtirish natijasida jism tushunchasi vujudga keladi.

Ta’rif. A birli xalqada har bir noldan farqli elementi teskarilanuvchi bŏlsa, u holda A xalqa jism deyiladi.

Nokommutativ bŏlgan jismga misolni qŏrish murakkab masaladir. Shunga qaramasda biz shunday misolni uchinchi semestrda keltiramiz.