Butun ko'rsatkichli daraja natural ko'rsatkichli darajaning xossalari qaralganda, darajalarni bo'lishning (1)

BUTUN KO'RSATKICHLI DARAJA
Natural ko'rsatkichli darajaning xossalari qaralganda, darajalarni bo'lishning
(1)
xossasi n > m va bo'lganda, to'g'riligi ta'kidlangan edi.
Agar bo'lsa, u holda (1) tenglikning o'ng qismidagi n-m daraja ko'rsatkich manfiy son yoki nolga teng bo'ladi.
Manfiy va nol ko'rsatkichli daraja shunday aniqlanadiki, (1) tenglik faqat n > m bo'lgandagina emas, balki   bo'lganda, ham to'g'ri bo'ladi. Masalan, n = 2, m = 5 bo'lganda, (1) formula bo'yicha quyidagini hosil qilamiz:
a² : a⁵ = a^2-5 = a^-3.
Ikkinchi tomondan,

.
Shuning uchun a^-3 =  deb hisoblanadi.
1- ta'rif
Agar   va n - natural son bo'lsa, u holda 

bo`ladi.

Misollar:

1) ; 2) ;
3) . 
Agar n = m bo'lsa, u holda (1) formula bo'yicha quyidagini hosil qilamiz:
aⁿ : aⁿ = a^n-n = a⁰.

Ikkinchi tomondan, . Shuning uchun a°= 1 deb hisoblanadi.

2- ta'rif
Agar   bo'lsa, u holda a⁰ = 1 bo'ladi.

Masalan, 3° = 1, ( )⁰ =1.
Manfiy ko'rsatkichli darajalardan sonni standart shaklda yozishda foydalanilgan. Masalan,
. 
Natural ko'rsatkichli darajalarning barcha xossalari istalgan butun ko'rsatkichli darajalar uchun ham to'g'ri bo'ladi.
Bilib oling
Istalgan   va istalgan butun n va m lar uchun quyidagi tengliklar to'g'ri:

1. 
   aⁿa^m = a^n+m. 4. aⁿ : a^m = aⁿ-^m.
   

2. 
   (aⁿ)^m = a^nm. 5. (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
   

3. 
   
   

Masalan, n < 0 bo'lganda, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ tenglikning to'g'riligini isbot qilamiz.
О n - butun manfiy son bo'lsin. U holda n =-k (bunda k - natural son). Manfiy ko'rsatkichli darajaning ta'rifidan va natural ko'rsatkichli darajaning xossalaridan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:
.
Butun ko'rsatkichli darajalarning boshqa xossalari ham shunga o'xshash isbot qilinadi.
Butun ko'rsatkichli darajalarning xossalarini qo'llashga misollar keltiramiz:
1) 4^-3 • 4¹¹ • 4^-6 = 4^-3+11-6 = 4² = 16;
2) 
Masala. a⁶(a^-2 -a^-4)(a² +a³)^-1 ifodani soddalashtiring: 
  .