Булевы функции. Функциональные схемы. Описание работы сумматора

Вентиль	Вход
Выход
1
2
3
4
5
6
7

Таким образом, на выходе схемы получится функция
Диаграммы функциональных схем можно упростить, если разре­шить функциональным элементам И и ИЛИ иметь не по два входа, а больше. Но более впечатляющего упрощения можно добиться, если привлечь карту Карно для преобразования функции, полученной на выходе сложной схемы.
Пример2. Упростите функцию, генерируемую схемой из приме­ра 1. и найдите более простую функциональную схему, ее реализу­ющую.
Решение. Карта Карно требуемого выражения представлена на рис.2. Она имеет две пары минтермов для группировки (одна из них не видна при данном обозначении столбцов).

	1			1
	1

Рисунок 2. Карта Карно выражения
Итак

Это сводит функцию к выражению которое, ввиду дистрибутивности редуцируется к функции

Более простая схема, реализующая функцию из примера1, по­казана на3.
Рисунок 3.
При вычерчивании функциональных схем нет необходимости ис­пользовать все типы функциональных элементов. Как мы уже виде­ли, множество { } является полной системой функций. Поэтому мы можем построить любую схему, ограничившись функциональ­ными элементами И и НЕТ.Более того, если по той или иной причине нам неудобно исполь­зовать большое число компонент, мы могли бы использовать только функциональный элемент НЕ—И .
Пример3. Начертите функциональную схему, реализующую булеву функцию , используя только НЕ—И .
Решение. Во-первых, заметим, что

А во-вторых,
Искомая схема показана на рис.4.
Рисунок4. Функциональная схема функции

Проектирование 2-битного сумматора

2-битный сумматор — это устройство, которое вычисляет сумму двузначных двоичных2 чисел, выдавая в качестве ответа трехзнач­ное двоичное число. Например, . Для создания функ­циональной схемы 2-битного сумматора мы сначала построим полубитный сумматор предназначенный для сложения двух двоичных цифр. Ответ при этом представляется двузначным двоичным чи­слом. Например, .

Полубитный сумматор.

Пусть х и у обозначают двоичные цифры, которые предстоит сложить, а и и v двоичные цифры суммы, получающейся на вы­ходе сумматора, как показано на рис. 9.17.


Рис 9.17

Таблица истинности (табл. 9.14) проясняет связь между вводи­мыми и выводимыми цифрами. Следовательно, (разряд пе­реноса) и (сложение по модулю 2).

Табл. 9.14

x у
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

Задача 1. Проверьте, что функциональная схема, изображенная на рис. 9.18, реализует полубитный сумматор.


Рис 9.18 Схема полубитного сумматора
Решение. Входными данными элементов 3 и 4 являются разряд переноса и сумма по модулю 2 соответственно (смотри табл. 9.15).
Таблица 9.15

Логический элемент	Ввод	Вывод
1
2
3
4

2-битный сумматор.
На входе 2-битный сумматор получает два двузначных двоичных числа, а на выходе у него оказывается трехзначное число, равное сумме вводимых чисел. Иными словами, 2-битный сумматор склады­вает числа в двоичной системе счисления, например: .
Обозначим через a и b цифры первого вводимого в сумматор числа, а через c и d — цифры второго (рис. 9.19). Пусть e, f и g – цифры вычисляемой суммы.



Рис 9.19
Далее мы могли бы, как и в случае с полубитным сумматором, заполнить таблицы истинности цифр e, f и g, считая их булевыми функциями от вводимых цифр, упростить полученные выражения с помощью карты Карно и начертить (функциональную схему. Однако мы поступим иначе: используем полубитный сумматор в качестве блока функциональной схемы. Схема, представленная на рис. 9.20, использует два полубитных сумматора для вычисления сумм: и


Сумма по модулю 2 (переменная ) дает нам цифру g. Скла­дывая разряд переноса c c помощью третьего полубитного сумматора, мы получаем двузначное число с цифрами и f. Нако­нец, последняя цифра суммы, e, может быть получена из и с помощью функционального элемента ИЛИ.