булади. Демак, / (х) функция

§. Лимитларни ^исоблашда функциянинг узл}ксизлигидан

фойдаланиш
Маълумки, функцияларнинг лимитларнни хисоблаш мухкм, шу билан бирга анчагина машаккатли ишдир.
Функцияларнинг узлуксиз булиши эса, уларнинг ли.мнтини то­пи шда кул келади.
у — f(x) функция X с~ R тупламда аншуганган булиб, а нукта X нинг лимит нуктаси булсин. г = ц>(у) функция эса Y cr R туп­ламда аникланган. Бу функциялар ёрдамида г = Ф (/ (х)) мураккаб функция тузилган булсин.
Агар Iim f(x) = у_а мавжуд булиб, г = <р(//) функция у_а куктада
х-*а
узлуксиз булса, у холда limcp (f(x)) мавжуд ва
X—►Д
1'ШФ (/>')) = ф(0)
X—*Q
тенглик уринли булади.
^а^и^атан, х^-а да f(x) -*■ у_а ва ф(//) функция у_а нуь^тада уз­луксиз, яъни у->-у_а да ф(у) --*• ф(г/„). У ^олда мураккаб функция­
нинг лимита хасидаги теоремага асосан х-+а да q (f(x)) функция лимитга эга ва
lim ф (f(x)) = lim <р (у) = ц< (у_а)
х-*а У->У_а
тенгликлар уринли. Бу тенгликлардан узлуксиз функииялар учун функция ишораси остида лимитга утиш цоидаси келиб чикади:
lim ф (/(*)) = ф(Нт f (л)).
х-*а х~*а
Хусусан, f(x)=x булса,
I i гп ф (д:) = ф(Птх) = ф(а).
х-*а х~*а
Мисоллар. 1. куйидаги
lim (I -i- цх)^х О ф ц £ R
х-+й
L 7П * /
лимитни хисобланг. Биз буни lim(I + цл)^А = 1 im[(1 + рлУ^и]^ц кури-’
V—О
нишда ёзиб оламиз. Равшанки, х-*-0 да у = цл'->-0 булади. Бук- дан куйидагини топамиз:
j_ (_
lim [(1 -f- Ц*)^МУ = [Iim(1 + yft = е^а
х -*0 !/->0
Шу мисолдан фойдаланиб lim( 1 --I-—] лимитни хам хисоблаш
+ JO \ К /
мумкин. Унда 0 ^x£R. Равшанки, — £#да ва л-*- оо да —=у-*0.
^ п п
Шунинг учун 162

www.ziyouz.com kutubxonasi

Jim (1 = lim fl +//f]^,= |!im(l + yf f = /
«-к⁹³ \ П f y->-0 tj~*0

2. 
   К^уйндаги лимитларни хнсобланг.
   

а) lim—= log,e (биринчи мухим лимит, a > 0, a ^=1);
x -о -v
б) lim- =1па(иккинчи му.^им лимит, а > О, а - 1);
л-*0 х '
... (1 +*)“-- 1 , ч
б) Ьт ---а (V4HH4H мухим лимит).
Л--.0 ^х ' ' ‘
Бу муносабатларни псботлашда логарифмик, курсаткичли ва дара- жали фуикиияларнинг узлукснзлигидан фойдалаиа.миз. Дархакпкат, а) ,\олда
1 i_
lim —— —- lim log (1 .v)' = log_n [ iim(l -f x)^x] = log,.c;
x *0 -V x->0 ' ,r-*0 ‘
f>) холда эса a^x— 1 ~t деб, л—>-0 да /->-0 бу лишни» эътнбор- га олиб топамиз:
.. .1¹ — 1 t 1 1 .
lim lim ттт= = In a;
л-.о x и 1.Ц_о(1-)-0 log₀|lim(l -I-/) ' I log_ae
Нихоят, в) холда (1 + x)^a— 1 = t деб, сунгра a= ⁺ ^ ва .т—*-0
• • ln(l + .v)
да/—>-0 булишини хисобга олсак,

(1 + .v)^a - l t
lim == lim — = lim
A,0 X О X -v-.o

/ ln(l -L I) ln(l 4- *)

llld -r /) ln(l-f.v)

a

келиб чикади.

2. 
   Иккита f(x) ва g(.v) [функция fX a R тупламда аникланган. а нукта X тупламнинг лимит нуктаси булсин.
   

Агар
lim /'(.v) = b (b > 0), lim g(x) = с
x—*u x-+a
лимитлар уринли булса, ушбу
lim [/(.v))g = b^c
x-*a
лимит хам уринли булади.
Хакикатан, [/(.v)]^g<r) функциянн
[f (x)\^gM = e^{e(x)hl lix)}
куринишда ифодалаб, сунгра курсаткичли хамда логарифмик функ- цияларнинг узлуксизлигидан фойдаланиб, куйидагини топамиз:

163

www.ziyouz.com kutubxonasi

lim [f(x)]^gM — lim ё

x-*a x—*a

lim [g(x)-ln / (*)] lim g(x)-ln [lim / (a)] ,g{x)\nj{x) _ :c-*a __ x-*a

- In b Jn/>^c i с
= e = e = b
Одатда [/(x)]^g(1) функция даражали-курсаткичли функция деб ата-
лади.
Даражали-курсаткичли [/(x)]^g(x) функция цуйидаги

1. 
   lim /(jc) = 1, limg(;c) = оо;
   

х—>a х~*а

2. 
   lim f(x) = 0, lim g(x) = 0;
   

x~*a x—>ci

3. 
   lim/(x) = + oo, limg(;t) = 0
   

x-*a x—*a
холларда авЕал караб утганимизга ухшаш, аник;масликларни • ифода- лайди. д:-»-й да [/(*)]^8>х) функция 1) ^олда I^е0, 2) холда 0°, 3) хрлда оо° куринишдаги аникмасликлар дейилади.

Мисол. Ушбу

lim ( *->о \

I
а^х + Ь^х \*
2

(а > 0, b > 0)

лимитни хисобланг.
I
(а^х + ь^х

ифода *->-0 да 1^е”куринишдаги ани^масликдан ибораг.
Уни очиш учун лимит ишораси остидаги функцияни кулай кури- нишда ёзиб олиб, кейин лимитга утамиз:

lim
*-»+0

а^х + Ь* \7
2

= lim *—+о

(а^х — 1) + (Ь^х — 1)

= lim
х->+0

lim
*-►+0

2
2

+

1+ Ь^Х

1 +

(а^х — 1) + (Ь^х — 1) 2

■ >)+(!>* -1)

2х

lim _ х—+0

_l + b*_ 2х

~ (In fl-j-ln b)
= е~ =Y ob.
Демак, х-*-0 да берилган функциянинг лимита Уab га тенг

4. 
   §. Узлуксиз функцияларнинг хоссалари
   

Биз ушбу параграфда нуклада хамда ораликда узлуксиз булган функцияларнинг хоссаларини урганамиз.
1. Нуцтада узлуксиз булган функциянинг хосса­лари (л ока л хоссалар). f(x) функция X тупламда ани^ланган булсин. X дан бирор х₀ ну^та олиб, бу нук/ганинг шу тупламга те- гишли булган етарли кичик атрофини карайлик.

164

х

www.ziyouz.com kutubxonasi