Bo’lishini topamiz. Unda Bo’lishi kelib chiqadi. Demak, X uchun

Bo’lishini topamiz. Unda

Bo’lishi kelib chiqadi. Demak, x uchun

. f (x) = ln(1+x) funksiyasining Teylar qatori. Malumki bu funksiyaning Teylar funksiyasi quyidagicha bo’ladi:

ln(1+x)=x- + - + … + (-1)^n-1 +r_n(x).

Bu formulada x [0,1] da r_n (x) qoldiq hadi Lagranj ko’rinisida quyidagicha yozib

R_n(x) =

Uning uchun

r_n(|x)| (14.52)

Bo’lishini, x [-a,0) (0n(x) qoldiq hadni, Qoshi ko’rinisida quyidagicha etib

r_n(x)=(-1)ⁿxⁿ⁺¹

unung uchun

r_n(|x)| (14.52)

bo’lishini ko’rgan edik (1-qism, 6-bob, 7mavzu).

(14.51) va (14.52) munasabatlardan

(14.53)

bo’ladi.

Shuni takidlashlozimki, ln (1+x) funksi (-1, + ) orqaliqda berilga bo’lsa ham fuksiyaning Teylar qatori-(14.53) munasabat (_1,+1] yarim intervoli o’rinlidir.

. f(x) = (1+x)^a funksiyaning Teylar qatari. Bu funisiyaning Teylar formulasi

bo’lib (qaralsin, 1-qism, 6-bob, 7-mavzu), uning qoldiq hadi Qoshi ko’rinishinida quyidagicha bo’ladi:

Uni ushbu

Ko’rinishida yozib olamiz.

Agar -1

Qatorning umumiy hadi (bu qatorning yaqinlashuvchanligi Dalamder alomatiga ko’ra ko’rsatiladi), ikkinchidan, |ax|(1-|x|)^a-1a-1<|ax|(1+|x|)^a-1, va nihoyat, ikkinchidan

Bo’lganidan bo’lishi kelib chiqadi.

Demak,|x|<1 da

(1+x)^a=

bo’ladi.

10-mavzu. Funksiyani ko’phad bilan yaqinlashtirish

Malumki. Funksiya matematik analiz kursida o’rganiladigan asosiy obekt. Ko’pgina masalalar esa, funksiyaning hisoblash (berilgan nuqtada qiymatini topish) bilan bog’liq. Funksiyaning murakkab bo’lishi bunday hisoblashlarda kata qiyinchiliklar tug’diradi. Natijada funksiyani unga qaraganda soda va hisoblashga qulay bo’lgan funksiy bilan yaqinlashtirish- tarkibiy ifodalash masalasi yuzaga keladi.

Funksiyaning darajali qatorga yoyilishidan , uni taqribiy hisoblashda keng foydalaniladi.Bunda funksiyani darajali qator qismiy yig’indisi bilan almashtirilib, funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatini topish ko’phadning shu nuqtadagi qiymatini xisoblashga keltiriladi.Darajali qator tuzilishga ko’ra soda bo’lishi , uning qismiy yig’indisi esa oddiy ko’phad ekanligi funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatini effektiv hisoblay olinishi mumkinligiga olib keladi.

Shuni ham ta’kidlash lozimki,bunday imkoniyat faqat “yaxshi” funksiyalar uchun , yani istalgan tartibdagi xosilalarga ega bo’lgan va ma’lum shartni qanoatlantiruvchi (qarang 14.23-teorema) funksiyalar uchun mavjud bo’ladi.Ixtiyoriy uzluksiz funksiya berilgan bo’lsa , uni biror ko’phad yordamida taqribiy xisoblash mumkin bo’larmikan degan savol tug’iladi.Yani funksiyani ko’phad bilan taqriban almashtirish imkoniyatini analitik funksiyalar sinfidan uzluksiz funksiyalar sinfiga umumlashtirish masalasi paydo bo’ladi.

1885 yilda mashhur nemis matematigi K.Veyershtrass tomonidan uzluksiz funksiyani ko’phad bilan yaqinlashtirish mumkinligi ko’rsatiladi.Bu fakt quyida keltiriladigan teorema orqali ifodalanadi.

14.26-teorema(Veyershtrass teoremasi).Agar f(x) funksiya [0,1] segmentda berilgan va uzluksiz bo’lsa, u holda shunday

ko’phadlar topiladiki

bo’ladi.

Bu teoremaning turlicha isbotlari mavjud bo’lib , biz uning Bernshteyn ko’phadlari yordamidagi isbotini keltiramiz.

14.10-ta’rif.f(x) funksiya [0,1] segmentda berilgan bo’lsin,

Ushbu

ko’phad f(x) ning Bernshteyn ko’phadi deyiladi.

Bernshteyn ko’phadi n-darajali ko’phad bo’lib , uning koeffitsiyentlari f(x) funksiyaning (k=0,1,2,…,n) nuqtalardagi qiymatlari orqali ifodalanadi.Masalan, n=1,n=2,n=3 bo’lganda

bo’ladi.

14.27-teorema(Bernshteyn teoremasi).Agar f(x) funksiya [0,1] segmentda berilgan va uzluksiz bo’lsa , u holda

bo’ladi.

Avvalo bitta lemma hisoblaymiz.

*Funksiya berilgan va uzliksiz bo’gan oraliq ixtiyoriy segmentdan iborat bo’gan holda teoremaoning isboti 183 – betda keltiriladi.

14.1. Lemma. Ushbu

(14.55)

(14.56)

ayniyatlar o’rinlidir.

Isbot. Malumki, uchun

(a+b)ⁿ = .

Bu aynitda a=x, b=1-x deb olinsa, unda

,

yig’indilarningvxisoblaymiz.

Agar

Ekanligini etiborga olsak, y xolda

(14.57)

.

bo’lishini hisoblaymiz.

.

Bu hamda yuqoridagi (14.56) va (14.57) munosabatlardan foydalanib , quyidagini topamiz:

Lemma isbot bo’ldi.

14.3-natija.Ixtiyoriy x∈[0,1] uchun n∈N uchun

bo’ladi.

Xaqiqatan ham , ixtiyoriy x∈[0,1] uchun bo’lib, (14.56) munosabatdan (14.58) tengsizlikning orinli bolishi kelib chiqadi.

Bernshteyn teoremasining isboti.Yuqoridagi (14.54) va (14.55) munosabatlarga kora

bo’ladi.

f(x) funksiya [0,1] segmentda uzluksiz.Demak,Kantor teoremasiga asosan u shu segmentda uzluksiz bo’ladi,yani ∀ε>0 olinganda ham , shunday δ>0 topiladiki, uchun bo’lganda tengsizlik bajariladi.

Yuqoridagi (14.59) yig’indi k ning k=0,1,2,…,n qiymatlari bo’yicha yig’ilgan.Bu yig’indining

(x∈[0,1])

tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlari bo’yicha ajratib, ulardan ushbu

larni xosil qilamiz.Ravshanki,

bo’ladi.

Endi keyingi tenglikning o’ng tomonidagi yig’indilarning xar birlarini alohida-alohida baxolaymiz.

.