Bitiruv malakaviy ish mavzuining dolzarbligi: ma’lumki ko’pgina hayotiy masalalarni yechishda matematik modellar quriladi

2.3. Interpolyatsion kubik splayn

Ko’phadlar bilan yaqinlashtirish nazariyasi P.L.Chebishev, K.Vyershtrass, SH.Valle Pussen, S.N.Bernshteyn va boshqalarning ishlarida ishlab chiqilgan.

Maxsuslikka ega funksiyalar va silliqligi katta bo’lmagan funksiyalar uchun ko’phadlar yaqinlashish apparati sifatida qator kamchiliklarga ega.
(1.3.1)-misol sifatida nemis olimi Runge misolida ma’lum bo’lgan Rungening kontor misolini qarashimiz mumkin.
Faraz qilamiz biz quyidagi funksiyani teng taqsimlangan tugun nuqtalarda Lagranj interpolyatsion formulasi yordamida yaqinlashtiryapmiz.
;
interpolyatsiyalash oralig’ida

sharti qanoatlantiruvchi ba’zi nuqtalar mavjudligini tekshirishimiz mumkin.
Xususan, Lagranj interpolyatsion formulasi ham,
lar uchun uzoqlashuvchidir.
Oxirgi vaqtlarda kamchiliklardan holi bo’lgan yaqinlashtirishning boshqa apparatlari kelib, ishlab chiqilmoqda. Shunday apparatlardan biri, o’zini ham nazariy tomondan ko’rsatgan, bu splaynlardir.
Splayn-funksiyaning ta’rifi: silliqli yuqori bo’lmagan funksiyalar uchun ko’phadlar yaqinlashish apparati sifatida qator noqulayliklarga ega. Bulardan eng asosiysi shunday funksiyalardan iboratki, bunday funksiyalarning biror nuqta atrofidagi holati ularning to’la holati bilan uzviy bog’liqdir. Bundan tashqari interpolyatsion ko’phadlarning nuqsoni sifatida ularning har doim ham interpolyatsiyalanuvchi funksiyaga yaqinlashmasligidir. Eng yaxshi tekis yaqinlashuvchi ko’phadlarning kamchiligi sifatida shuni ko’rsatish mumkinki, ularni qurish juda qiyin va odatda bunday ko’phadning darajasi ortishi bilan koeffitsientlari ham tez o’sib boradi.
Oxirgi vaqtlarda shu nuqsondan holi bo’lgan boshqa yaqinlashish apparatlari ishlab chiqilmoqda. Nazariy tadqiqot va tadbiqlarda yaxshi natija beradigan apparat-splayn funksiyalar apparatidir.
Splaynning ta’rifi bilan tanishaylik.
Haqiqiy o’qdagi [a,b] oraliqda ushbu

to’p berilgan bo’lsin. Faraz qilaylik, darajasi m dan ortmaydigan ko’phadlar to’plami
o’zi va k-tartibli hosilalar oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiyalar va shu oraliqda berilgan hosilalari ham uzluksiz funksiyalarning qiymatlari funksiyalar to’plami bo’lsin.
1.3.1-Ta’rif: Quyidagi ikkita shartni qanoatlantiruvchi ushbu
Funksiya deffekti 1 ga teng bo’lgan m-darajali polinominal splayn deyiladi.
1.Har bir oraliqda
2.
bu yerda nuqtalar splayn tugunlari deyiladi. splaynning m-hosilasi oraliqda uzilishga ham ega bo’lishi mumkin.
Agar lar uchun

tengliklar bajarilsa, splayn b-a davrli davriy splayn deyiladi.
Ta’rifni qanoatlantaruvchi splaynlar bilan bir qatorda shunday splaynlar ham qaraladiki, ularning silliqligi to’rning turli qismlarida turlichadir. Bunday splaynlar oraliqning turli qismlarida turli silliqlikka ega bo’lgan funksiyalarni yaqinlashtirishda foydalaniladi.
Bundan buyon interpolyatsion kubik va chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi splaynlar bilan shug’ullanamiz.
Interpolyatsion kubik splaynlar qurish. Oldingi punktda aytilganidan so’ng quyidagi ta’rifni bera olamiz.
Ta’rif: Quyidagi to’rt shartni qanoatlantiruvchi ushbu
funksiya interpolyatsion kubik splayn deyiladi:
1.Har biri oraliqda
2.
3.To’rning tugunlarida tenglik o’rinli;
4 uchun
Chegaraviy shartlar bajariladi.
Bu to’rt shartni qanoatlantiruvchi yagona splayn mavjudligini ko’rsatamiz. Buning uchun avval quyidagi yordamchi shartlarni keltiramiz.
Lemma. Faraz qilaylik n-tartibli kvadrat matritsaning elementlari
(1.3.2)
shartni qanoatlantirsin. U holda sistema yagona yechimga ega bo’lib,uning yechimi
tengsizlikni qanoatlantiradi.
Isbot. Agar sistemaning ozod hadlari nolga teng bo’lsa, u holda tengsizlikdan bu sistemaning faqat trivial yechimga ega ekanligini, demak, bo’lishi va bu sistemaning ixtiyoriy ozod hadlar uchun yagona yechimga egaligi kelib chiqadi. Shuning uchun ham lemmani isbotlash uchun
tengsizlikni keltirib chiqarish kifoyadir. Faraz qilaylik, shart bajarilsin va bo’lsin. U holda ekanligidan

bo’ladi. Shu bilan tengsizlik va demak, lemma isbotlandi.
Agar matritsaning elementlari shartni qanoatlantirsa, bunday matritsa salmoqli bosh diagonalga ega deyiladi.
Endi splayn qurish bilan shug’ullanamiz, ning ikkinchi hosilasi to’rning har biri oraliqda uzluksiz bo’lganligidan da ushbu
(1.3.4)
tenglikni yoza olamiz. Bu yerda va Bu tenglikning har ikki tomonini integrallab, quyidagiga ega bo’lamiz:
(1.3.5)
Bunda va integrallash doimiylari bo’lib, ular va shartlardan aniqlanadi.(1.3.5) da larni o’rniga qo’yib, mos ravishda
va
larni hosil qilamiz. Bundan va larni topib ga qo’ysak, natijada

larga ega bo’lamiz. Oxirgi tenglik oraliq uchun quyidagi ko’rinishga ega:

Endi da ning ga chapdan va da x ning ga o’ngdan intilgandagi, ya’ni lar uchun hosilaning bir tomonlama limitlarini hisoblaylik.

ta’rifning ikkinchi shartiga ko’ra va funksiyalar [a,b] oraliqda uzluksiz. ning nuqtalarda uzluksizligidan foydalansak, quyidagi n-1 ta tenglamaga ega bo’lamiz:



Bu tenglamalarni (1.3.1) chegaraviy shartdan kelib chiqadigan
(1.3.10)
tengliklar bilan to’ldirib,



belgilarni kiritsak, u holda noma’lumlarni topish uchun
(1.3.12)
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.(1.3.11) ga ko’ra (1.3.12) sistemaning matritsasi salmoqli bosh dioganalga ega bo’lganligi tufayli ixtiyoriy lar uchun (1.3.12) sistema yagona yechimga ega. Shunday qilib, 1-4-shartlarni qanoatlantiruvchi yagona splayn mavjud ekan (1.3.12)sistemani yechishning haydash usuli deb ataluvchi juda ham effektiv algoritmi mavjud. Uni quyida keltirib o’tamiz. Buning uchun barcha lar uchun
(1.3.13)
yordamchi miqdorlarni hosil qilamiz. So’ngra (1.3.12) sistemaning tenglamalaridan ketma-ket larni yo’qotib, ushbu
(1.3.14)
ekvivalent sistemaga ega bo’lamiz. Bundan esa ketma-ket
larni aniqlash mumkin.


XULOSA
Xulosa qilib aytganda funksiya interpolyatsiyalash masalasining qo’yilishida, interpolyatsiyalash tushunchasi yoritib berilgan.Interpolyatsiya so’zining mohiyati yoritilgan. Bunday funksiyani oraliqda unung qiymatlari berilgan. Shu oraliqda aniqlangan funksiyalar sinfini olamiz. berilgan oraliqda funksiya bilan ustma-ust tushadi.
Klassik interpoyatsion, Lagranj interpolyatsion formulalari va ularga doir misollar yechib ko’rsatilgan. Nyutonning bo’lingan ayirmali interpolyatsion formulasi va unga doir misollar yechib ko’rsatilgan.
Variatsion interpolyatsion formulalarda splayn funksiyaning ta’rifi ,splaynlarning hisoblash matematikasida keng qo’llanilayotganligi, interpolyatsion kubik splayn ta’rifi,splaynni qurish masalasi yoritib berilgan.
oliygohlarning yuqori kurs talabalari, magistratura yo’nalishidagi talabalar foydalana oladilar. Hisoblash matematikasida (funksiyalarni yaqinlashtirish bo’limida ) lokal splaynlarning qo’llanilishi tez orada rivojlanib ketdi.
Ayniqsa regulyar, singulyar Fur’e integrallarini taqribiy hisoblashda lokal splaynlarning qo’llanilishi yaxshi natijalar bermoqda lokal splaynlar yordamida effektov kvadratur formulalar ko’rilib , bu kvadratur formulalar yordamida juda ko’p ahamiyatga ega bo’lgan regulyar, singulyar va Fur’e integrallari hisoblanmoqda.