Birinchi va ikkinchi tur egri chiziq integrallar

1. I tur egri chiziq integrali uni hisoblash va xossalari.

Tekislikda biror silliq AB egri chiziq berilgan bo’lib, unda f(x,y) funksiya aniqlangan bo’lsin.
y



A




0 x
Endi AB egri chiziqni A=A₀,A₁ ,A₂, ..., A_n=B nuqtalar bilan A_i A_i+1
(i=0,...,n-1) yoylarga ajratamiz, har bir yoychada ixtiyoriy M_i (_i, _i) nuqta olib bu nuqtadagi f(x,y) funksiyani qiymatini f (_i, _i) deb belgilab quyidagi yig’indini tuzamiz.
n1

  _ f (_i ,_i )s_i
i0
(1)

maxs_i= deb belgilaylik.
Ta’rif: Agar AB egri chiziqda aniqlangan f(x,y) funksiya uchun tuzilgan (1) yig’indi  da AB egri chiziqni A_i, A_i+1 yoylarga bo’lish usuliga va har bir A_i, A_i+1 yoychada M_i (_i, _i) nuqtani tanlab olish usuliga bog’liq bo’lmagan limitga ega bo’lsa , bu limitga f(x,y) funksiyadan AB egri chiziq bo’yicha olingan birinchi tip egri chiziqli integral deyiladi va
n1

_ f (x, y)ds
( AB )
deb belgilanadi. Demak.
lim 
0
 lim _ f (_i ,_i )s_i

0
i0
 _ f (x, y)ds
( AB )

Birinchi tur egri chiziqli integralning asosiy xossalari:

1. 
   _ f (x, y)ds 
   

( АВ )
_ f (x, y)ds
( BA)

2. 
   _Сf (x, y)ds С _ f (x, y)ds
   

( АВ ) AB
_{3. }f₁ (x, y)  f ₂ (x, y) ds  _ f₁ (x, y)ds  _ f ₂ (x, y)ds

(k )

4. Agar k=k₁+k₂ bo’lsa,

(k )
(k )
_ f (x, y)ds  _


f (x, y)ds 
_ f (x, y)ds

bo’ladi.

(k )
(k₁ )
(k₂ )

Agar birinchi tur egri chiziqli integralda f(x,y)=1 desak , u xolda

_ f (x, y)ds  _ds  S
-egri chiziqning uzunligini beradi. Agar f(x,y) funksiyani musbat va

(k ) (k)

o’zgaruvchan chiziqli zichlik
^{  f (x, y)} deb qarasak, _ ^{f (x, y)ds} - integral k-egri
(k )

chiziqning massasini ifodalaydi.
Teorema. Agar f(x,y) funksiya, parametrik tenglamasi

x  ( t ) y  

_булган(  t   )

(k) egri chiziqda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, u xolda


(k )
₂ ( t )_
f (x, y)ds

integral mavjud bo’lib



_ f ( x, y )ds  _ f ( t ), ,( t )  ¹2 ( t ), ¹2 ( t )dt
formula bilan hisoblanadi.

( k ) 
Agar fazodagi (k) egri chiziqning tenglamasi

x  ₁ (t), y  ₂ (t), z  ₃ (t)
(t₁  t  t₂ )
bo’lsa,

^t2

1

2

3


(k )
f (x, y, z)ds  _
t₁
f ₁
(t),₂
(t),₃
(t)
 '² (t)  
'² (t)  
'² (t)dt
bo’ladi.

Misol. Zichligi
p  f (x, y, z) 
qonun bilan o’zgaradigan va fazodagi parametrik

tenglamasi
x  t, y  ¹ t ² ,t  ¹ t ³
(0  t  1)


lar bilan berilgan egri chiziqning massasini

toping.
2 3

1 1

M  _ f (x, y, z)ds  _ pds  _
2 yds  _
x12
 y¹2

• 
  z¹2 dt  _ t
  

1  t ²  t ⁴ dt 

(k ) k k 0 0
 ¹ 1
_t ²  _

 ²  ^{1 }  ^1
2  t ⁴  t ²  1  ³ en(t ²  ¹  t ⁴  t ²  1) 

1

 ^3
8 _
 1  ³ en
2
^ 

2

2
2 _{ 
}

3


3  2 ^
3 _

8 2 _
_

2.Ikkinchi tur egri chiziqli integral.

Fazoda aniq yo’nalishli silliq (gladkoy) AB egri chiziq berilgan bo’lib, unda P(x,y,z), Q (x,y,z) va R (x,y,z) funksiyalar aniqlangan bo’lsin odatdagicha bu egri chiziqni A=A₀, A₁,
..., A_n-1, A_n=B nuqtalar bilan A_i A_i+1 yoylarga ajratib har bir A_i A_i+1 yoychada ixtiyoriy M(

_i ,_i , _i ) nuqta olib quyidagicha yig’indi tuzamiz.

x
n1

_(_i ,_i , _i )x_i  Q(_i ,_i , _i )y_i  R(_i ,_i , _i )z
i0
(2)

^{xi , yi} va ^zi lar A_i A_i+1 yoyning mos ravishda ox,oy, va oz o’qlariga bo’lgan proeksiyasi
maxx_i=₁,maxy_i=₂, maxz_i=₃, deylik
Ta’rif. Agar AB da aniqlangan P (x,y,z), Q (x,y,z) va R (x,y,z) funksiyalar uchun tuzilgan

(2) integral yig’indi
^₁ ^{ 0, }₂ ^{ 0, }₃ ^{ 0} da AB egri chiziqni A_i A_i+1 yoylarga va har bir

A_i A_i+1 yoyda ixtiyoriy M(_i ,_i , _i ),nuqtani tanlab olish usuliga botsliq bo’lmagan limitga ega bo’lsa bu limitga ‘ (x,y,z), Q (x,y,z) va R (x,y,z) funksiyalardan AB egri chiziq bo’ylab A dan V ga qarab olingan ikkinchi tip egri chiziqli integral deyiladi va

_ P(x, y, z)dx 
AB
_Q(x, y, z)dy 
AB
_ R(x, y, z)dz
AB
yoki

_ P(x, y, z)dx  Q(x, y, z)dy  R(x, y, z)dz
AB
ko’rinishda yoziladi.

Demak
_ Pdx  Qdy  Rdz  lim _P x_i  Qy_i  Rz_i 

n1
₁0
^AB ₂ 0
₃₁0
i1

Agar (2) integral yig’indini P,Q,R funksiyalarning ixtiyoriy bittasi yoki ixtiyoriy ikkitasi uchun tuzsak u xolda ikkinchi tip egri chiziqli integralimiz quyidagi ko’rinishlarda bo’ladi.
_ Pdx  Qdy, _Qdy  Rdz, _ Pdy  Rdz, _ Pdy, _Qdy, _ Rdz

AB AB
AB AB AB AB


Agar P(x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) funksiyalarni F kuchning ox, oy, oz o’qlaridagi
proektsiyasi sifatida qarasak va x, y, z larni AB egri chiziqning F kuch tahsir qilayotgan nuqtasining ko’chishi s ning ox, oy, oz o’qlaridagi proeksiyasi sifatida qarasak,

u xolda ikkinchi tur egri chiziqli integral ^F kuchning butun AB egri chiziq bo’ylab

bajargan ishni beradi, ya’ni A= _ ^{Pdy  Qdy Rdz}
AB
bo’ladi.

Ikkinchi tip egri chiziqli integralda integrallash yo’nalishini o’zgartirsak, integral qiymati o’z ishorasini o’zgartiradi

_ P(x, y, z)dx   _ Р(x, y, z)dх
chunki x₁ ning ishorasi o’zgaradi.

AB ВА
Ikkinchi tip egri chiziqli integralning qolgan hossalari esa birinchi tip egri chiziqli

integralning xossalari kabi bo’ladi.
^{x  1 t } 

Teorema. AB egri chiziqning tenglamasi parametrik xolda berilgan bo’lib:
y  
z  
t ^



2
t  ^

3 _

1
(x,y,z) nuqta A dan B ga qarab harakat qilsin.
  t   ^_

Agar
^{ t }, ^₂ ^{t }, ^₃ ^{t }, P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z) funksiyalar AB da uzluksiz va

uzluksiz ^{ 1 t}, ^{ 1 t }, ^{ 1 t }, hosilalarga ega bo’lsa, u xolda
Pdх  Qdy Rdz
ikkinchi

1 2 ³ _
AB


tur egri chiziqli integral mavjud va
_ P(x, y, z)dx  _
₁
t ,₂
t ₃
t  ¹(t)dt
teng bo’ladi.

1
AB 
Misol. Agar AB egri chiziqning parametrik tenglamasi


x  cos t _

^{y }  bo’lsa,
_ x² ydy  y ² xdx

integralni hisoblang


0  t  ^  АВ
2 